Logique et algorithmique : exercices de maths 2de à télécharger en PDF

1 Implication et réciproque ★★★

Pour chaque implication, dis si elle est vraie, écris sa réciproque et dis si elle est vraie.

1. Si un entier est multiple de \(10\), alors il est multiple de \(5\).
2. Si un quadrilatère est un carré, alors c’est un losange.

2 Hypothèse et conclusion ★★★

Dans l’énoncé « si un triangle est équilatéral, alors ses trois angles mesurent \(60^\circ\) », identifie l’hypothèse et la conclusion, puis écris la réciproque. Est-elle vraie ?

3 Lire des quantificateurs ★★★

Traduis en français puis dis si la proposition est vraie ou fausse.

1. \(\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geqslant 0\)
2. \(\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 = -4\)
3. \(\exists n \in \mathbb{N},\ n + 3 = 10\)

4 Écrire des négations ★★★

Écris la négation de chaque phrase.

1. Tous les élèves de la classe ont plus de \(15\) ans.
2. Il existe un joueur de l’équipe qui a marqué plus de \(3\) buts.
3. Tous les nombres de cette liste sont pairs.

5 Chasse au contre-exemple ★★★

Réfute chaque affirmation par un contre-exemple.

1. La somme de deux entiers impairs est impaire.
2. Pour tout entier naturel \(n\), \(n^2 \gt n\).

6 Suivre des affectations ★★★

On exécute : a = 3, puis b = a + 4, puis a = b * 2, puis b = a - b. Dresse le tableau de suivi et donne les valeurs finales de \(a\) et \(b\).

7 Que renvoie ce programme ? ★★★

Qu’affiche ce programme ?

x = 5
y = x * 2
x = y - 3
print(x + y)

8 Équivalence ou non ? ★★★

Pour un réel \(x\), dis si l’équivalence est vraie. Si elle est fausse, donne un contre-exemple.

1. \(x^2 = 9 \Leftrightarrow x = 3\)
2. \(x + 4 = 10 \Leftrightarrow x = 6\)
3. \(x \gt 2 \Leftrightarrow x^2 \gt 4\)

9 Un multiple de 6 ★★★

Un entier est multiple de \(6\) si et seulement s’il est multiple de \(2\) et multiple de \(3\). Démontre de même qu’un entier multiple de \(4\) et de \(3\) est multiple de \(12\), puis étudie la réciproque.

10 Disjonction de cas ★★★

Démontre que, pour tout entier \(n\), le produit \(n(n + 1)\) est pair.

11 Contraposée à l’œuvre ★★★

On veut montrer : « si \(n^2\) est impair, alors \(n\) est impair ». Écris la contraposée de cette implication et démontre-la.

12 Somme de carrés ★★★

Que fait ce programme ? Détaille le tableau de suivi et donne la valeur affichée.

S = 0
for i in range(1, 6):
    S = S + i * i
print(S)

13 Un nombre qu’on divise ★★★

Qu’affiche ce programme ? Combien de passages dans la boucle ?

u = 100
n = 0
while u > 10:
    u = u / 2
    n = n + 1
print(n, u)

14 Une fonction par morceaux ★★★

On définit la fonction suivante.

def f(n):
    if n % 2 == 0:
        return n // 2
    else:
        return 3 * n + 1

Calcule \(f(7)\), puis \(f(f(7))\), puis les trois valeurs suivantes en appliquant à chaque fois \(f\) au résultat précédent.

15 La tirelire de Maëlle ★★★

Maëlle a \(40\) € dans sa tirelire et y ajoute \(15\) € chaque semaine. Elle veut s’offrir un casque à \(200\) €. Écris un programme avec une boucle « tant que » qui donne le nombre de semaines nécessaires, puis calcule-le.

16 Quantificateurs et négation ★★★

Soit la proposition « \(x^2 - 3x + 2 \lt 0\) » notée \(Q(x)\).

1. Calcule \(Q(1{,}5)\) et \(Q(3)\) : sont-elles vraies ?
2. La proposition « \(\exists x \in \mathbb{R},\ Q(x)\) » est-elle vraie ?
3. Écris la négation de « \(\forall x \in \mathbb{R},\ Q(x)\) » et dis si elle est vraie.

17 Un polynôme trompeur ★★★

Léo affirme : « pour tout entier naturel \(n\), \(n^2 + n + 11\) est un nombre premier. » Il a vérifié pour \(n = 0, 1, 2, 3\) et trouvé \(11, 13, 17, 23\). A-t-il raison ? Cherche un contre-exemple.

18 Chercher le premier entier ★★★

On veut le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(n^2 \gt 500\). Complète ce programme, exécute-le à la main et donne \(n\).

n = 0
while ......... :
    n = n + 1
print(n)

19 Absurde : pas de solution entière ★★★

Démontre par l’absurde qu’il n’existe aucun couple d’entiers \((x\,;\,y)\) tel que \(x^2 - 4y = 2\).

20 Multiples de 3 ou de 5 ★★★

Qu’affiche ce programme ? Explique le rôle de or et justifie la valeur finale de \(S\).

S = 0
N = 0
for k in range(1, 21):
    if k % 3 == 0 or k % 5 == 0:
        S = S + k
        N = N + 1
print(S, N)

21 Équivalence et équation ★★★

Pour un réel \(x\), montre que \((x - 2)(x + 5) = 0 \Leftrightarrow x = 2\) ou \(x = -5\). En déduire les solutions de \(x^2 + 3x - 10 = 0\).