Géométrie repérée : corrigé du contrôle de maths 2de à télécharger en PDF

1 Vecteurs et milieu / 3 pts

a) \(\overrightarrow{PQ}\binom{3 - (-5)}{-4 - 2} = \binom{8}{-6}\). (1 pt)

b) Milieu : \(\left(\dfrac{-5 + 3}{2}\,;\,\dfrac{2 - 4}{2}\right) = (-1\,;\,-1)\). (1 pt)

c) \(PQRS\) parallélogramme \(\iff \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{SR}\) : \(1 - x_S = 8\) et \(6 - y_S = -6\), donc \(S(-7\,;\,12)\). (1 pt)

2 Distance et cercle / 3 pts

a) \(UV = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\). (1 pt)

b) Milieu de \([UV]\) : \(\left(\dfrac{-2 + 4}{2}\,;\,\dfrac{-1 + 7}{2}\right) = (1\,;\,3) = T\). (1 pt)

c) \(TU = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) et \(TV = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\). Comme \(T\) est le milieu de \([UV]\) et que \(TU = TV = 5 = \dfrac{UV}{2}\), le cercle de diamètre \([UV]\) a pour centre \(T\) et pour rayon 5. (1 pt)

3 Nature d’un triangle / 4 pts

a) \(AB^2 = 4^2 + (-2)^2 = 20\), \(BC^2 = 2^2 + 4^2 = 20\), \(AC^2 = 6^2 + 2^2 = 40\). (2 pts)

b) \(AB^2 = BC^2\) : le triangle est isocèle en \(B\). (1 pt)

c) \(AB^2 + BC^2 = 40 = AC^2\) : d’après la réciproque de Pythagore, il est rectangle en \(B\). C’est un triangle rectangle isocèle en \(B\). (1 pt)

4 Colinéarité / 4 pts

a) Condition : \((k + 1) \times 4 - 6 \times 2 = 0\). (1 pt) Donc \(4k + 4 = 12\), soit \(k = 2\). (1 pt)

b) \(\overrightarrow{DE}\binom{3}{1}\) et \(\overrightarrow{DF}\binom{12}{4}\). (1 pt) Déterminant : \(3 \times 4 - 1 \times 12 = 0\), donc \(D\), \(E\), \(F\) sont alignés. (1 pt)

5 Un quadrilatère / 4 pts

a) \(\overrightarrow{AB}\binom{3}{1}\) et \(\overrightarrow{DC}\binom{3}{1}\) : \(ABCD\) est un parallélogramme. (1 pt)

b) \(AB^2 = 9 + 1 = 10\) et \(AD^2 = 1 + 9 = 10\) : deux côtés consécutifs égaux, donc c’est un losange. (2 pts)

c) \(AC^2 = 4^2 + 4^2 = 32\) et \(BD^2 = (-2)^2 + 2^2 = 8\). Les diagonales n’ont pas la même longueur : ce n’est pas un rectangle. (1 pt)

6 Dans le parc / 2 pts

a) \(KB = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13\) unités, soit 1 300 m. (1 pt)

b) Milieu : \(\left(\dfrac{2 + 14}{2}\,;\,\dfrac{1 + 6}{2}\right) = (8\,;\,3{,}5)\). (1 pt)