Géométrie repérée : exercices corrigés de maths 2de à télécharger en PDF

1 Lire des coordonnées ★★★

On lit d’abord l’abscisse sur l’axe horizontal, puis l’ordonnée sur l’axe vertical : \(P(3\,;\,2)\), \(Q(-2\,;\,1)\), \(R(-3\,;\,-2)\) et \(S(1\,;\,-3)\).

2 Calculer des vecteurs ★★★

On applique « arrivée moins départ ».

a) \(\overrightarrow{AB}\binom{6 - 1}{2 - 4} = \binom{5}{-2}\).

b) \(\overrightarrow{CD}\binom{2 - (-3)}{-5 - 0} = \binom{5}{-5}\).

c) \(\overrightarrow{EF}\binom{-4 - (-4)}{6 - (-1)} = \binom{0}{7}\) : le déplacement est purement vertical.

3 Trois milieux ★★★

a) \(\left(\dfrac{2 + 6}{2}\,;\,\dfrac{8 - 2}{2}\right) = (4\,;\,3)\).

b) \(\left(\dfrac{-5 + 3}{2}\,;\,\dfrac{1 - 7}{2}\right) = (-1\,;\,-3)\).

c) \(\left(\dfrac{-1 + 2}{2}\,;\,\dfrac{4 - 3}{2}\right) = \left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)\).

4 Distances simples ★★★

\(AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\).

\(CD = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\).

\(EF = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13\).

5 Vrai ou faux ? ★★★

a) Vrai : \(2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0\) (et \(\vec v = 2\vec u\)).

b) Faux : \(1 \times 5 - (-2) \times (-3) = 5 - 6 = -1 \neq 0\).

c) Vrai : \(\overrightarrow{BA}\binom{1 - 3}{2 - 5} = \binom{-2}{-3}\), c’est l’opposé de \(\overrightarrow{AB}\binom{2}{3}\).

6 Retrouver une extrémité ★★★

\(I\) est le milieu de \([AB]\) donc \(2 = \dfrac{-1 + x_B}{2}\) et \(1 = \dfrac{4 + y_B}{2}\).

On obtient \(x_B = 2 \times 2 - (-1) = 5\) et \(y_B = 2 \times 1 - 4 = -2\). Donc \(B(5\,;\,-2)\).

7 Le drone et sa base ★★★

a) \(BD = \sqrt{(10 - 2)^2 + (14 - (-1))^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\). Le drone est à 17 km de sa base.

b) Le milieu est \(\left(\dfrac{2 + 10}{2}\,;\,\dfrac{-1 + 14}{2}\right) = \left(6\,;\,\dfrac{13}{2}\right)\), soit le point de coordonnées \((6\,;\,6{,}5)\).

8 Quatrième sommet d’un parallélogramme ★★★

\(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

\(\overrightarrow{AB}\binom{5}{1}\) et \(\overrightarrow{DC}\binom{6 - x_D}{5 - y_D}\). On résout \(6 - x_D = 5\) et \(5 - y_D = 1\), d’où \(x_D = 1\) et \(y_D = 4\).

Donc \(D(1\,;\,4)\). Vérification : \(\overrightarrow{DC}\binom{5}{1} = \overrightarrow{AB}\).

9 Points alignés ? ★★★

a) \(\overrightarrow{AB}\binom{3}{2}\) et \(\overrightarrow{AC}\binom{9}{6}\). Déterminant : \(3 \times 6 - 2 \times 9 = 0\). Les vecteurs sont colinéaires : \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.

b) \(\overrightarrow{AD}\binom{6}{3}\). Déterminant avec \(\overrightarrow{AB}\) : \(3 \times 3 - 2 \times 6 = 9 - 12 = -3 \neq 0\). \(A\), \(B\), \(D\) ne sont pas alignés.

10 Deux paramètres ★★★

a) Condition : \(m \times (-3) - 6 \times 4 = 0\), soit \(-3m = 24\), donc \(m = -8\).

b) Condition : \(2 \times 9 - (m + 1) \times 6 = 0\), soit \(18 = 6(m + 1)\), donc \(m + 1 = 3\) et \(m = 2\).

11 Triangle isocèle ? ★★★

\(EF^2 = 6^2 + 2^2 = 40\), \(EG^2 = 2^2 + 6^2 = 40\), \(FG^2 = (-4)^2 + 4^2 = 32\).

\(EF^2 = EG^2\) : le triangle est isocèle en \(E\). Il n’est pas équilatéral (\(32 \neq 40\)). Il n’est pas rectangle : \(40 + 40 = 80 \neq 32\) et \(40 + 32 = 72 \neq 40\).

12 Triangle rectangle ? ★★★

\(KL^2 = 4^2 + 6^2 = 52\), \(KM^2 = (-3)^2 + 2^2 = 13\), \(LM^2 = (-7)^2 + (-4)^2 = 65\).

Le plus grand côté est \([LM]\) et \(KL^2 + KM^2 = 52 + 13 = 65 = LM^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, \(KLM\) est rectangle en \(K\).

13 Le robot aspirateur ★★★

\(DC = \sqrt{(9 - 1)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\) m.

Durée : \(\dfrac{10}{0{,}5} = 20\) s. Le robot met 20 secondes.

14 Diagonales et milieu ★★★

Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Le milieu de \([AC]\) est \(I\left(\dfrac{-1 + 7}{2}\,;\,\dfrac{-2 + 4}{2}\right) = (3\,;\,1)\).

\(I\) est aussi le milieu de \([BD]\) : \(x_D = 2 \times 3 - 5 = 1\) et \(y_D = 2 \times 1 - (-1) = 3\). Donc \(D(1\,;\,3)\).

Vérification : \(\overrightarrow{AB}\binom{6}{1}\) et \(\overrightarrow{DC}\binom{6}{1}\).

15 Un losange ★★★

Le milieu de \([AC]\) est \((0\,;\,0)\) et celui de \([BD]\) aussi : \(ABCD\) est un parallélogramme.

\(AB^2 = 3^2 + 4^2 = 25\) et \(BC^2 = 3^2 + (-4)^2 = 25\) : deux côtés consécutifs sont égaux, donc \(ABCD\) est un losange (de côté 5).

Ses diagonales mesurent \(AC = 6\) et \(BD = 8\) : elles sont différentes, donc ce n’est pas un rectangle, et pas un carré.

16 Un rectangle ★★★

\(\overrightarrow{AB}\binom{6}{2}\) et \(\overrightarrow{DC}\binom{6}{2}\) : \(ABCD\) est un parallélogramme.

\(AB^2 = 36 + 4 = 40\), \(AD^2 = 1 + 9 = 10\) et \(BD^2 = (-7)^2 + 1^2 = 50\). Comme \(AB^2 + AD^2 = 50 = BD^2\), le triangle \(ABD\) est rectangle en \(A\).

Un parallélogramme avec un angle droit est un rectangle. Contrôle : \(AC^2 = 5^2 + 5^2 = 50 = BD^2\), les diagonales sont égales.

17 Équidistant de deux points ★★★

\(M\) est sur l’axe des abscisses : \(M(x\,;\,0)\). \(MA^2 = (x - 1)^2 + 9\) et \(MB^2 = (x - 5)^2 + 1\).

\(MA = MB \iff MA^2 = MB^2 \iff x^2 - 2x + 10 = x^2 - 10x + 26 \iff 8x = 16 \iff x = 2\).

Donc \(M(2\,;\,0)\). Vérification : \(MA^2 = 1 + 9 = 10\) et \(MB^2 = 9 + 1 = 10\).

18 Un point sur une droite ★★★

\(\overrightarrow{AB}\binom{3}{1}\) et \(\overrightarrow{AC}\binom{x - 1}{4}\). L’alignement équivaut à \(3 \times 4 - 1 \times (x - 1) = 0\), soit \(12 = x - 1\), donc \(x = 13\).

\(C(13\,;\,5)\). Vérification : \(\overrightarrow{AC}\binom{12}{4} = 4\overrightarrow{AB}\).

19 Centre du cercle circonscrit ★★★

a) \(AB^2 = 64\), \(AC^2 = 4^2 + 4^2 = 32\), \(BC^2 = (-4)^2 + 4^2 = 32\). Comme \(AC^2 = BC^2\) et \(AC^2 + BC^2 = 64 = AB^2\), le triangle est rectangle isocèle en \(C\).

b) L’hypoténuse est \([AB]\), son milieu est \(\Omega(2\,;\,1)\). Le rayon est \(\Omega A = 4\). Contrôle : \(\Omega C = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4\).

20 Partager un segment ★★★

\(\overrightarrow{AB}\binom{6}{6}\).

a) \(\overrightarrow{AM}\binom{2}{2}\), donc \(M(2 + 2\,;\,-1 + 2) = (4\,;\,1)\).

b) \(\overrightarrow{AN}\binom{9}{9}\), donc \(N(11\,;\,8)\).

c) \(\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AN}\) sont des multiples de \(\overrightarrow{AB}\) : ils sont colinéaires, donc les quatre points sont alignés. Leurs abscisses valent \(2\), \(4\), \(8\), \(11\) : l’ordre est \(A\), \(M\), \(B\), \(N\).