Sur une carte, un écran de jeu vidéo ou un plan de ville, chaque position se repère par deux nombres. En seconde, tu vas transformer ces nombres en outils de calcul : ils te permettront de calculer des déplacements, des milieux, des distances, de prouver que des points sont alignés ou de démasquer la vraie nature d’une figure, sans règle ni équerre, juste avec des coordonnées.
1. Repère orthonormé et coordonnées d’un point
Un repère \((O\,;\,I,\,J)\) du plan est orthonormé lorsque les axes sont perpendiculaires et que les deux unités de longueur sont égales : \(OI = OJ = 1\). Tout point \(M\) est alors repéré par un couple \((x_M\,;\,y_M)\) : l’abscisse \(x_M\) se lit sur l’axe horizontal, l’ordonnée \(y_M\) sur l’axe vertical.
Dans ce chapitre, le repère est toujours orthonormé, sauf mention contraire. Cette précision est capitale : la formule des distances, par exemple, n’est valable que dans ce cas.
On écrit toujours l’abscisse en premier : \(A(3\,;\,-2)\) est à 3 unités vers la droite et 2 unités vers le bas, alors que \(B(-2\,;\,3)\) est un tout autre point.
2. Coordonnées d’un vecteur
Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) représente le déplacement qui amène \(A\) en \(B\) : une direction, un sens et une longueur. Dans un repère, ce déplacement se décrit par deux nombres.
Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), alors \[ \overrightarrow{AB}\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}. \]
Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coordonnées. Ainsi \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) équivaut à dire que \(ABCD\) est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Soit \(A(-2\,;\,3)\) et \(B(4\,;\,-1)\). Alors \(x_B - x_A = 4 - (-2) = 6\) et \(y_B - y_A = -1 - 3 = -4\), donc \(\overrightarrow{AB}\binom{6}{-4}\). Sur la figure, c’est bien un déplacement de 6 vers la droite et de 4 vers le bas.
Soit \(C(1\,;\,5)\). Cherchons le point \(D\) tel que \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}\) : \(x_D - 1 = 6\) et \(y_D - 5 = -4\), donc \(D(7\,;\,1)\).
On calcule « arrivée moins départ ». Pour \(\overrightarrow{AB}\), c’est \(B - A\), pas \(A - B\) : tu obtiendrais le vecteur opposé \(\overrightarrow{BA}\).
3. Coordonnées du milieu d’un segment
Le milieu \(I\) du segment \([AB]\) a pour coordonnées \[ I\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\right). \]
On fait donc la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées.
Pour \(E(-3\,;\,2)\) et \(F(5\,;\,-6)\), le milieu de \([EF]\) est \(I\left(\dfrac{-3 + 5}{2}\,;\,\dfrac{2 + (-6)}{2}\right) = (1\,;\,-2)\).
- Note \(I(x_I\,;\,y_I)\) le milieu connu et \(A\) l’extrémité connue.
- Écris \(x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2}\) et \(y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2}\).
- Résous : \(x_B = 2x_I - x_A\) et \(y_B = 2y_I - y_A\).
4. Distance entre deux points
\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}. \]
Cette formule est le théorème de Pythagore déguisé : sur la figure, le triangle \(AHB\) est rectangle en \(H\), avec \(AH = 4\) et \(HB = 3\), donc \(AB^2 = 4^2 + 3^2 = 25\).
Avec \(A(1\,;\,1)\) et \(B(5\,;\,4)\) : \(AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\).
Avec \(M(-2\,;\,3)\) et \(N(3\,;\,-1)\) : \(MN = \sqrt{5^2 + (-4)^2} = \sqrt{41} \approx 6{,}40\). Garde la valeur exacte \(\sqrt{41}\) tant que tu calcules.
Pour comparer des longueurs, ne prends pas la racine : compare directement les carrés \(AB^2\), \(AC^2\), \(BC^2\). Tu évites les arrondis, et c’est exactement ce qu’il faut pour le théorème de Pythagore !
5. Colinéarité et alignement
Deux vecteurs \(\vec u\binom{x}{y}\) et \(\vec v\binom{x'}{y'}\) sont colinéaires lorsque l’un est un multiple de l’autre. Cela équivaut à la condition \[ xy' - yx' = 0. \]
Le nombre \(xy' - yx'\) s’appelle le déterminant des deux vecteurs : on multiplie « en croix » et on soustrait. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Trois points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires. Deux droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
Soit \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,3)\) et \(C(10\,;\,5)\). On a \(\overrightarrow{AB}\binom{3}{1}\) et \(\overrightarrow{AC}\binom{9}{3}\).
Déterminant : \(3 \times 3 - 1 \times 9 = 9 - 9 = 0\). Les vecteurs sont colinéaires, donc \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
Pour quelle valeur de \(k\) les vecteurs \(\vec u\binom{k}{6}\) et \(\vec v\binom{3}{-2}\) sont-ils colinéaires ? On écrit \(k \times (-2) - 6 \times 3 = 0\), soit \(-2k = 18\), donc \(k = -9\).
6. Nature d’un triangle
Avec les distances, on classe un triangle. On calcule les trois carrés des côtés, puis on les compare.
- Calcule \(AB^2\), \(AC^2\) et \(BC^2\).
- Deux carrés égaux : le triangle est isocèle ; trois carrés égaux : équilatéral.
- Si le plus grand carré est la somme des deux autres, le triangle est rectangle (réciproque de Pythagore).
- Conclus par une phrase qui cite les égalités obtenues.
Pour \(A(1\,;\,1)\), \(B(5\,;\,2)\), \(C(2\,;\,5)\) : \(AB^2 = 4^2 + 1^2 = 17\), \(AC^2 = 1^2 + 4^2 = 17\) et \(BC^2 = (-3)^2 + 3^2 = 18\).
\(AB^2 = AC^2\) : le triangle est isocèle en \(A\). De plus \(17 + 17 = 34 \neq 18\) et \(17 + 18 \neq 17\) : il n’est pas rectangle.
Pour \(R(-1\,;\,1)\), \(S(3\,;\,3)\), \(T(1\,;\,7)\) : \(RS^2 = 16 + 4 = 20\), \(ST^2 = 4 + 16 = 20\), \(RT^2 = 4 + 36 = 40\). Comme \(RS^2 + ST^2 = 40 = RT^2\), le triangle \(RST\) est rectangle en \(S\), et comme \(RS = ST\), il est aussi isocèle en \(S\).
7. Nature d’un quadrilatère
Pour un quadrilatère \(ABCD\), on prouve d’abord que c’est un parallélogramme, puis on cherche s’il est plus particulier.
- \(ABCD\) est un parallélogramme \(\iff\) \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) \(\iff\) les diagonales \([AC]\) et \([BD]\) ont le même milieu.
- Un parallélogramme est un losange s’il a deux côtés consécutifs égaux (\(AB = AD\)).
- Un parallélogramme est un rectangle s’il a un angle droit, ou si ses diagonales sont de même longueur (\(AC = BD\)).
- S’il est à la fois losange et rectangle, c’est un carré.
Soit \(A(-3\,;\,-1)\), \(B(2\,;\,0)\), \(C(4\,;\,3)\), \(D(-1\,;\,2)\). On calcule \(\overrightarrow{AB}\binom{5}{1}\) et \(\overrightarrow{DC}\binom{5}{1}\) : ils sont égaux, donc \(ABCD\) est un parallélogramme.
Contrôle avec les milieux : celui de \([AC]\) est \(\left(\dfrac{1}{2}\,;\,1\right)\), celui de \([BD]\) aussi. Ensuite \(AB^2 = 26\) et \(AD^2 = 4 + 9 = 13\) : ce n’est pas un losange.
| Je cherche… | Je calcule… |
|---|---|
| un déplacement | \(\overrightarrow{AB}\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}\) |
| un milieu | la moyenne des abscisses et celle des ordonnées |
| une distance | \(\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\) |
| un alignement ou un parallélisme | le déterminant \(xy\prime - yx\prime\), nul si colinéaires |
| la nature d’une figure | les carrés des côtés et les milieux des diagonales |
À retenir
- Distances et orthogonalité : le repère doit être orthonormé.
- \(\overrightarrow{AB}\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}\) : « arrivée moins départ ».
- Milieu de \([AB]\) : \(\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)\).
- \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\) ; compare les carrés pour éviter les racines.
- \(\vec u\) et \(\vec v\) colinéaires \(\iff xy' - yx' = 0\) ; alignement de \(A, B, C\) \(\iff\) \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires.
- \(ABCD\) parallélogramme \(\iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) \(\iff\) diagonales de même milieu.
- Triangle : compare \(AB^2, AC^2, BC^2\) pour l’isocèle, l’équilatéral et le rectangle (Pythagore).
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