Fonction exponentielle : contrôle de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Calculs avec les puissances de e / 3 pts

Simplifie, sous la forme d’une puissance de \(\mathrm{e}\) :

\(A = \dfrac{\mathrm{e}^{6}\,\mathrm{e}^{-2}}{\mathrm{e}^{3}}\) ; \(B = (\mathrm{e}^{-2})^{3}\times \mathrm{e}^{8}\) ; \(C = \dfrac{(\mathrm{e}^{x+3})^{2}}{\mathrm{e}^{2x}}\).

2 Équations et inéquations / 4 pts

Résous dans \(\mathbb{R}\) :

1. \(\mathrm{e}^{3x - 2} = \mathrm{e}^{x + 4}\)
2. \(\mathrm{e}^{-x + 1} \leqslant 1\)
3. \(\mathrm{e}^{x} = -1\)

3 Dérivées / 4 pts

Dérive sur \(\mathbb{R}\) : \(f(x) = (3x - 1)\mathrm{e}^{2x}\) et \(g(x) = \mathrm{e}^{-x^{2} + x}\). Détermine ensuite l’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(0\).

4 Étude d’une fonction / 6 pts

Soit \(h(x) = (2 - x)\mathrm{e}^{x}\) définie sur \(\mathbb{R}\).

1. Calcule \(h'(x)\).
2. Dresse le tableau de variations de \(h\).
3. Détermine les limites de \(h\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
4. Calcule \(h''(x)\) et étudie la convexité de \(h\). Que se passe-t-il en \(x = 0\) ?

5 Limites / 3 pts

Détermine :

1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\mathrm{e}^{x} - 3x\right)\)
2. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (2x + 5)\mathrm{e}^{x}\)
3. \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{3x} - 1}{x}\)