Combien de codes différents un cadenas à quatre chiffres peut-il afficher ? De combien de façons choisir une équipe de cinq joueurs parmi douze ? Énumérer à la main devient vite impossible : il faut une méthode. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à dénombrer proprement, avec des outils qui serviront ensuite pour les probabilités et pour le calcul algébrique.
1. Le principe multiplicatif
Si une situation se décompose en \(p\) choix successifs, offrant respectivement \(n_1, n_2, \dots, n_p\) possibilités, et si le nombre de possibilités à chaque étape ne dépend pas des choix précédents, alors le nombre total de résultats est \[ n_1 \times n_2 \times \dots \times n_p. \]
Si un ensemble est réunion de deux ensembles disjoints \(A\) et \(B\), alors \(\mathrm{Card}(A \cup B) = \mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B)\).
Un arbre de choix aide à visualiser le principe : chaque chemin de la racine à une feuille correspond à un résultat.
Un restaurant propose 2 entrées, 3 plats et 2 desserts. Un menu comporte une entrée, un plat et un dessert. Le nombre de menus est \(2 \times 3 \times 2 = 12\). L’arbre ci-dessus montre déjà \(2 \times 3 = 6\) chemins pour les deux premiers choix ; chacun se prolonge de 2 façons avec le dessert.
2. Les p-listes
Soit \(E\) un ensemble de \(n\) éléments et \(p\) un entier naturel non nul. Une \(p\)-liste (ou \(p\)-uplet) de \(E\) est une suite ordonnée \((x_1, x_2, \dots, x_p)\) d’éléments de \(E\), les répétitions étant autorisées.
Il y a exactement \(n^p\) listes de \(p\) éléments d’un ensemble à \(n\) éléments.
En effet, chacun des \(p\) emplacements peut recevoir n’importe lequel des \(n\) éléments : on applique le principe multiplicatif avec \(n \times n \times \dots \times n\) (\(p\) facteurs).
Un cadenas à 4 molettes numérotées de 0 à 9 affiche un code qui est une 4-liste de \(\{0, 1, \dots, 9\}\) : il y a \(10^4 = 10\,000\) codes. Un mot binaire de longueur 8 (un octet) est une 8-liste de \(\{0, 1\}\) : il y en a \(2^8 = 256\).
3. Arrangements et permutations
Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on note \(n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n\), et par convention \(0! = 1\).
| \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(n!\) | 1 | 1 | 2 | 6 | 24 | 120 | 720 | 5040 | 40320 |
Un arrangement de \(p\) éléments d’un ensemble \(E\) à \(n\) éléments est une \(p\)-liste d’éléments deux à deux distincts. Une permutation de \(E\) est un arrangement des \(n\) éléments : c’est un rangement de tous les éléments dans un certain ordre.
Pour \(0 \leqslant p \leqslant n\), le nombre d’arrangements de \(p\) éléments parmi \(n\) est \[ n \times (n-1) \times \dots \times (n-p+1) = \dfrac{n!}{(n-p)!}. \] Le nombre de permutations d’un ensemble à \(n\) éléments est \(n!\).
Le premier élément se choisit de \(n\) façons, le deuxième de \(n-1\) (on ne peut pas reprendre le premier), et ainsi de suite.
Dix élèves participent à un concours de dessin et on remet une médaille d’or, une d’argent et une de bronze. Il y a \(10 \times 9 \times 8 = 720\) podiums possibles (arrangements de 3 élèves parmi 10). Et 5 amis peuvent s’asseoir sur un banc de \(5! = 120\) manières.
4. Les parties d’un ensemble
Une partie (ou sous-ensemble) de \(E\) est un ensemble dont tous les éléments sont dans \(E\). L’ensemble vide \(\varnothing\) et \(E\) lui-même sont des parties de \(E\).
Un ensemble à \(n\) éléments possède exactement \(2^n\) parties.
Pour fabriquer une partie, on décide pour chaque élément s’il y entre ou non : 2 choix par élément, soit une \(n\)-liste de \(\{0, 1\}\), donc \(2^n\) possibilités.
Pour \(E = \{a, b, c\}\), les \(2^3 = 8\) parties sont \(\varnothing\), \(\{a\}\), \(\{b\}\), \(\{c\}\), \(\{a, b\}\), \(\{a, c\}\), \(\{b, c\}\) et \(E\).
5. Les combinaisons
Une combinaison de \(k\) éléments d’un ensemble \(E\) à \(n\) éléments est une partie de \(E\) ayant \(k\) éléments : l’ordre n’a pas d’importance et il n’y a pas de répétition. Leur nombre se note \(\binom{n}{k}\) (« \(k\) parmi \(n\) »).
Pour \(0 \leqslant k \leqslant n\), \[ \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}. \]
Justification : chaque combinaison de \(k\) éléments donne \(k!\) arrangements, selon l’ordre choisi. Le nombre d’arrangements est donc \(k!\) fois le nombre de combinaisons, d’où \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{(n-k)!\,k!}\).
| Situation | L’ordre compte ? | Répétitions ? | Nombre |
|---|---|---|---|
| \(p\)-liste d’un ensemble à \(n\) éléments | oui | oui | \(n^p\) |
| arrangement de \(p\) éléments parmi \(n\) | oui | non | \(\dfrac{n!}{(n-p)!}\) |
| permutation de \(n\) éléments | oui | non | \(n!\) |
| combinaison de \(p\) éléments parmi \(n\) | non | non | \(\dbinom{n}{p}\) |
Un jury de 3 personnes est choisi parmi 9 volontaires, sans fonction particulière : l’ordre n’a pas d’importance. Il y a \(\binom{9}{3} = \dfrac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84\) jurys possibles.
Pour savoir si l’ordre compte, imagine que tu échanges deux éléments choisis. Si le résultat change (un podium, un code), c’est une liste ou un arrangement. Si le résultat reste le même (un jury, une main de cartes), c’est une combinaison.
Ne confonds pas \(\binom{n}{k}\) avec \(\dfrac{n!}{k!}\) ni avec \(n^k\). Et n’oublie pas de diviser par \(k!\) quand l’ordre ne compte pas.
- Décris un résultat type et repère s’il s’agit d’une liste, d’un rangement ou d’une partie.
- L’ordre compte-t-il ? Les répétitions sont-elles permises ?
- Choisis la formule du tableau (ou décompose en étapes avec le principe multiplicatif).
- Pour une condition « au moins un », passe par le contraire : total moins cas défavorables.
6. Les coefficients binomiaux
Pour tous entiers \(n\) et \(k\) avec \(0 \leqslant k \leqslant n\) :
- \(\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\) et \(\binom{n}{1} = n\) ;
- symétrie : \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) ;
- relation de Pascal (pour \(0 \leqslant k \leqslant n-1\)) : \(\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}\) ;
- somme : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n\).
Preuves. Symétrie : choisir \(k\) éléments à garder revient à choisir les \(n-k\) éléments à écarter. Pascal : dans un ensemble à \(n+1\) éléments, fixons un élément \(a\). Les parties de \(k+1\) éléments se partagent en celles qui contiennent \(a\) (il reste \(k\) éléments à choisir parmi \(n\) : \(\binom{n}{k}\) parties) et celles qui ne le contiennent pas (\(k+1\) éléments parmi \(n\) : \(\binom{n}{k+1}\) parties). Somme : on range les \(2^n\) parties d’un ensemble à \(n\) éléments selon leur nombre d’éléments \(k\), de \(0\) à \(n\).
7. Le triangle de Pascal
On range les coefficients \(\binom{n}{k}\) en ligne \(n\) et colonne \(k\). Grâce à la relation de Pascal, chaque nombre est la somme des deux nombres situés juste au-dessus de lui, et les bords valent \(1\).
Pour \(\binom{7}{3}\) : on lit \(\binom{6}{2} = 15\) et \(\binom{6}{3} = 20\), donc \(\binom{7}{3} = 15 + 20 = 35\). On retrouve bien \(\dfrac{7 \times 6 \times 5}{3!} = 35\).
La ligne \(8\) se lit \(1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1\). Le diagramme ci-dessous montre sa symétrie et son maximum au milieu.
8. La formule du binôme de Newton
Pour tous réels (ou complexes) \(a\) et \(b\) et tout entier naturel \(n\), \[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{n-k} b^k. \]
Pourquoi ? En développant le produit de \(n\) facteurs \((a+b)\), on choisit dans chaque facteur soit \(a\), soit \(b\). Le terme \(a^{n-k} b^k\) apparaît chaque fois que l’on choisit \(b\) dans exactement \(k\) facteurs, et il y a \(\binom{n}{k}\) façons de choisir ces \(k\) facteurs.
Pour \(n = 5\), la ligne 5 du triangle de Pascal donne les coefficients \(1, 5, 10, 10, 5, 1\), donc \((x+1)^5 = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1\).
Avec des coefficients : \((2x-3)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(-3) + 3(2x)(-3)^2 + (-3)^3 = 8x^3 - 36x^2 + 54x - 27\).
Deux cas particuliers à connaître : avec \(a = b = 1\), on retrouve \(2^n = \sum \binom{n}{k}\) ; avec \(a = 1\) et \(b = -1\), on obtient pour \(n \geqslant 1\) la somme alternée \(\sum (-1)^k \binom{n}{k} = 0\).
À retenir
- Principe multiplicatif : on multiplie le nombre de possibilités à chaque étape.
- Nombre de \(p\)-listes d’un ensemble à \(n\) éléments : \(n^p\).
- Arrangements de \(p\) éléments parmi \(n\) : \(\dfrac{n!}{(n-p)!}\) ; permutations : \(n!\).
- Parties d’un ensemble à \(n\) éléments : \(2^n\) ; parties à \(k\) éléments : \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\).
- Symétrie \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\), relation de Pascal \(\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}\), somme des \(\binom{n}{k}\) égale à \(2^n\).
- Binôme : \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\).
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