Groupes, anneaux et corps : exercices de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Une loi sur les entiers ★★★

Sur \(\mathbb{Z}\), on définit \(a \star b = a + b - 4\).

1. La loi est-elle commutative ? associative ?
2. Détermine son élément neutre.
3. Quel est le symétrique de \(10\) ? Calcule \(9 \star (-2)\).

2 Calculer modulo 7 ★★★

Dans \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\), donne le représentant dans \(\{0, \dots, 6\}\) de : \(5 + 4\) ; \(3 \times 6\) ; l’opposé de \(2\) ; l’inverse de \(3\) ; \(6^{10}\).

3 Groupe ou pas ? ★★★

Parmi les structures suivantes, lesquelles sont des groupes ? Justifie chaque réponse : \((\mathbb{N}, +)\) ; \((\mathbb{Z}, \times)\) ; \((\mathbb{Q}^*, \times)\) ; \((\mathbb{R}_+^*, \times)\) ; \((\mathbb{Z}, -)\).

4 Sous-groupe ou non ? ★★★

Dire si c’est un sous-groupe : (a) \(5\mathbb{Z}\) dans \((\mathbb{Z}, +)\) ; (b) \(\mathbb{N}\) dans \((\mathbb{Z}, +)\) ; (c) \(2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}\) dans \((\mathbb{Z}, +)\) ; (d) \(\{-1, 1\}\) dans \((\mathbb{R}^*, \times)\).

5 Sommes et produits à la main ★★★

Calcule : \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20} k\) ; \(\displaystyle\sum_{k=0}^{6} 2^k\) ; \(\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k^2\) ; \(\displaystyle\prod_{k=1}^{5} k\) ; \(\displaystyle\sum_{k=3}^{8} 2k\).

6 Coefficients binomiaux ★★★

Calcule \(\dbinom{7}{3}\), \(\dbinom{10}{2}\), \(\dbinom{9}{9}\), \(\dbinom{8}{5}\), \(\dbinom{12}{1}\). Vérifie la relation de Pascal pour \(\dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4}\).

7 Développer avec le binôme ★★★

Développe \((a + b)^5\) puis \((x + 2)^4\).

8 Une loi sur les réels privés d’un point ★★★

Sur \(E = \mathbb{R} \setminus \{\tfrac12\}\), on pose \(x \star y = x + y - 2xy\).

1. Calcule \(1 - 2(x \star y)\) en fonction de \(1 - 2x\) et \(1 - 2y\).
2. En déduire que \((E, \star)\) est un groupe abélien.
3. Quel est le symétrique de \(3\) ? Résous \(4 \star x = 1\).

9 Intersection et somme de sous-groupes ★★★

Dans \((\mathbb{Z}, +)\), détermine \(12\mathbb{Z} \cap 18\mathbb{Z}\) et \(12\mathbb{Z} + 18\mathbb{Z}\). Montre que \(12\mathbb{Z} \cup 18\mathbb{Z}\) n’est pas un sous-groupe.

10 Est-ce un morphisme ? ★★★

Étudie les applications suivantes : \(f : (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}, +),\ n \mapsto 5n\) ; \(g : (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}, +),\ n \mapsto n + 1\) ; \(h : (\mathbb{R}^*, \times) \to (\mathbb{R}^*, \times),\ x \mapsto x^2\). Pour chaque morphisme, donne noyau et image.

11 Réduction modulo ★★★

Soit \(\varphi : \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) qui à la classe de \(x\) modulo \(12\) associe sa classe modulo \(4\) (bien définie car \(4\) divise \(12\)). Montre que \(\varphi\) est un morphisme de groupes, détermine son noyau, son image, et vérifie la relation entre les cardinaux.

12 Ordres dans Z/12Z ★★★

Détermine l’ordre dans \((\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}, +)\) des éléments \(8\), \(5\), \(9\) et \(6\). Combien d’éléments sont d’ordre \(12\) ?

13 Inversibles de Z/10Z ★★★

Liste les éléments inversibles de l’anneau \(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}\) et donne leurs inverses. L’anneau est-il un corps ?

14 Somme et produit télescopiques ★★★

Montre que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{n}{n+1}\) en écrivant \(\dfrac{1}{k(k+1)}\) comme une différence. Calcule la somme pour \(n = 99\). Calcule aussi \(\displaystyle\prod_{k=1}^{49}\Big(1 + \dfrac1k\Big)\).

15 Décomposer une permutation ★★★

Dans \(S_6\), on considère \(\sigma = (3, 6, 1, 5, 2, 4)\) (c’est-à-dire \(\sigma(1) = 3\), \(\sigma(2) = 6\), etc.).

1. Décompose \(\sigma\) en cycles à supports disjoints.
2. Donne sa signature et son ordre.
3. Calcule \(\sigma^2\) puis \(\sigma^{2026}\).

16 Un groupe dont tous les éléments sont d’ordre 2 ★★★

Soit \((G, \star)\) un groupe dans lequel \(x \star x = e\) pour tout \(x\). Montre que \(G\) est abélien. Donne un exemple de tel groupe non réduit à \(\{e\}\).

17 L’anneau des a + b√2 ★★★

On note \(\mathbb{Z}[\sqrt2] = \{a + b\sqrt2 \mid a, b \in \mathbb{Z}\}\).

1. Montre que c’est un sous-anneau de \((\mathbb{R}, +, \times)\).
2. Montre que \(1 + \sqrt2\) et \(3 + 2\sqrt2\) sont inversibles dans cet anneau.
3. Calcule \((1 + \sqrt2)^3\) avec la formule du binôme.
4. L’élément \(2\) est-il inversible dans \(\mathbb{Z}[\sqrt2]\) ?

18 Sommes de coefficients binomiaux ★★★

Soit \(n \geq 1\). Calcule, avec la formule du binôme : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom nk\), \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dbinom nk\), \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom nk 3^k\). Montre ensuite que \(k\dbinom nk = n\dbinom{n-1}{k-1}\) et déduis la valeur de \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k\dbinom nk\) ; applique-la à \(n = 10\).

19 Résoudre dans le corps Z/7Z ★★★

(a) Justifie que \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\) est un corps et dresse la liste des inverses.

(b) Résous \(3x + 4 = 2\) dans \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\) puis \(x^2 = 2\).

(c) Dans \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\), résous \(3x = 3\) et explique la différence.

20 Une identité de Vandermonde ★★★

Démontre que \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom nk^2 = \dbinom{2n}{n}\) en comparant les coefficients de \(x^n\) dans \((1+x)^n(1+x)^n = (1+x)^{2n}\). Vérifie pour \(n = 4\).

21 Dénombrer dans S4 ★★★

Dans \(S_4\), classe les permutations selon le type de leur décomposition en cycles. Combien y a-t-il d’éléments de chaque type ? Combien sont paires ? Combien sont d’ordre \(2\) ?

22 Une somme double ★★★

Montre que \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\min(i, j) = \sum_{k=1}^{n} k^2\). Indication : \(\min(i, j) = \sum_{k=1}^{n}\mathbb{1}_{k \le i}\,\mathbb{1}_{k \le j}\). Vérifie pour \(n = 4\).