Matrices et déterminants : exercices de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Somme et produit par un scalaire ★★★

On donne \(A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\). Calcule \(A + B\) et \(3A - 2B\).

2 Un produit non commutatif ★★★

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}\). Calcule \(AB\) et \(BA\). Que constates-tu ?

3 Déterminants d’ordre 2 ★★★

Calcule les déterminants de \(\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix} -2 & 6 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 7 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\). Lesquelles de ces matrices sont inversibles ?

4 Trace et transposée ★★★

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 0 & 3 & 5 \\ 1 & -2 & 6 \end{pmatrix}\). Calcule \(\operatorname{tr}(A)\), écris \({}^tA\) et vérifie que \(\operatorname{tr}({}^tA) = \operatorname{tr}(A)\).

5 Inverse d’une matrice 2 × 2 ★★★

Montre que \(A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) est inversible et calcule son inverse. Que dire de \(B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) ?

6 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse pour des matrices carrées \(A\), \(B\) de même taille, et justifie par une preuve ou un contre-exemple.

1. \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\).
2. \(\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)\).
3. Si \(AB = 0\), alors \(A = 0\) ou \(B = 0\).
4. Pour \(2 \times 2\), \(\det(2A) = 2\det A\).

7 Matrice d’une application du plan dans l’espace ★★★

Soit \(f(x,y) = (2x - y,\ x + 3y,\ -x + 4y)\). Écris la matrice de \(f\) dans les bases canoniques, puis calcule l’image de \((2,-3)\) avec un produit matriciel.

8 Puissances d’une matrice triangulaire ★★★

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). Conjecture l’expression de \(A^n\) puis démontre-la par récurrence. Donne \(A^{10}\).

9 Matrice nilpotente ★★★

Soit \(N = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\). Calcule \(N^2\) et \(N^3\). Déduis-en que \(I_3 + N\) est inversible et donne son inverse.

10 Le prix des paniers de fruits ★★★

Un primeur vend trois paniers. Le panier A contient 2 pommes, 1 poire et 1 orange et coûte \(12\) € ; le panier B contient 1 pomme, 2 poires et 3 oranges et coûte \(23\) € ; le panier C contient 3 pommes, 1 poire et 2 oranges et coûte \(19\) €. Détermine le prix unitaire de chaque fruit par la méthode du pivot de Gauss.

11 Système à une infinité de solutions ★★★

Résous \(\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ x - y + 2z = 4 \end{cases}\), puis le même système avec \(3\) comme second membre de la troisième équation. Donne le rang dans chaque cas.

12 Une translation de polynômes ★★★

Soit \(T : \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X]\) définie par \(T(P)(X) = P(X+1)\). Écris sa matrice \(M\) dans la base \((1, X, X^2)\), puis donne l’inverse de \(M\) en reconnaissant l’application réciproque.

13 Déterminant d’ordre 3 ★★★

Calcule par la règle de Sarrus puis par opérations sur les lignes le déterminant de \(\begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 3 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 5 \end{pmatrix}\).

14 Déterminants et opérations ★★★

Soit \(A\) une matrice \(3 \times 3\) telle que \(\det A = 4\). Calcule \(\det(2A)\), \(\det({}^tA)\), \(\det(A^{-1})\), \(\det(A^2)\), \(\det(-A)\) et \(\det(A^3)\).

15 Calcul de rang ★★★

Détermine le rang de \(M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) et de \(N = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\).

16 Diagonalisation et puissances ★★★

Soit \(A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) et \(P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\).

1. Montre que \(P\) est inversible et calcule \(P^{-1}\).
2. Calcule \(D = P^{-1}AP\).
3. Exprime \(A^n\) pour tout \(n\), puis donne \(A^4\).

17 Les marches de l’escalier ★★★

On monte un escalier de \(n\) marches en gravissant à chaque pas une ou deux marches. Le nombre de façons de le faire est \(F_{n+1}\), où \((F_n)\) est la suite de Fibonacci (\(F_0 = 0\), \(F_1 = 1\), \(F_{n+1} = F_n + F_{n-1}\)). On pose \(M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\).

1. Démontre par récurrence que, pour \(n \geqslant 1\), \(M^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}\).
2. En calculant \(\det(M^n)\), établis que \(F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n\).
3. Calcule \(M^5\) puis \(M^{10}\) et donne le nombre de façons de gravir \(10\) marches.

18 Matrice à paramètre ★★★

Pour \(m \in \mathbb{R}\), on pose \(M(m) = \begin{pmatrix} 1 & m & 0 \\ m & 1 & m \\ 0 & m & 1 \end{pmatrix}\).

1. Calcule \(\det M(m)\).
2. Pour quelles valeurs de \(m\) la matrice est-elle non inversible ?
3. Quel est alors son rang ?

19 Matrices semblables ou non ★★★

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\).

1. Vérifie que \(A\) est semblable à \(D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) à l’aide de \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).
2. La matrice \(A\) est-elle semblable à \(C = 2I_2\) ?

20 Une prévision météo ★★★

Dans une ville, le temps d’un jour dépend de celui de la veille. Après un jour de soleil, le lendemain est ensoleillé avec une probabilité \(0{,}8\) ; après un jour de pluie, il est ensoleillé avec une probabilité \(0{,}4\). Le vecteur \(X_n = \begin{pmatrix} s_n \\ p_n \end{pmatrix}\) donne les probabilités soleil/pluie au jour \(n\), et \(X_{n+1} = TX_n\) avec \(T = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}4 \\ 0{,}2 & 0{,}6 \end{pmatrix}\).

1. Aujourd’hui il fait soleil : \(X_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Calcule \(T^2\) et la probabilité qu’il fasse soleil après-demain.
2. Détermine la répartition stationnaire \(X\) (somme des coordonnées égale à \(1\)) vérifiant \(TX = X\).