Espaces vectoriels et applications linéaires : contrôle de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Un sous-espace de R3 / 3 pts

Soit \(F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 2x-y+z=0\}\). Montrer que \(F\) est un sev de \(\mathbb{R}^3\), puis en donner une base.

2 Famille libre ou liée / 3 pts

Dans \(\mathbb{R}^3\), soit \(u_1=(1,1,2)\), \(u_2=(2,-1,0)\), \(u_3=(0,3,4)\). La famille \((u_1,u_2,u_3)\) est-elle libre ? Déterminer la dimension de \(\operatorname{Vect}(u_1,u_2,u_3)\).

3 Noyau, image, rang / 4 pts

Soit \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\), \(f(x,y,z)=(x+y+z,\,2x+y-z,\,3x+2y)\).

1. Déterminer \(\operatorname{Ker} f\).
2. En déduire le rang de \(f\), puis une équation de \(\operatorname{Im} f\).
3. \(f\) est-elle injective ? surjective ?

4 Un projecteur de R3 / 4 pts

Soit \(p:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\), \(p(x,y,z)=(x,\,y,\,x+y)\).

1. Montrer que \(p\) est un projecteur.
2. Déterminer \(\operatorname{Im} p\) et \(\operatorname{Ker} p\).
3. Conclure sur la décomposition de \(\mathbb{R}^3\).

5 Polynômes à deux racines / 3 pts

Soit \(F=\{P\in\mathbb{R}_3[X]\mid P(0)=0\text{ et }P(1)=0\}\). Montrer que \(F\) est un sev de \(\mathbb{R}_3[X]\), déterminer une base de \(F\) et sa dimension.

6 Questions rapides / 3 pts

Répondre par vrai ou faux en justifiant.

1. Il existe une application linéaire surjective de \(\mathbb{R}^4\) dans \(\mathbb{R}^3\) dont le noyau est de dimension \(1\).
2. Il existe une application linéaire injective de \(\mathbb{R}^3\) dans \(\mathbb{R}^2\).
3. Une famille de quatre vecteurs de \(\mathbb{R}^3\) est génératrice.