Dérivation et développements limités : exercices corrigés de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Taux d’accroissement ★★★

\( f(2)=10 \) et \( f(2+h)=4+4h+h^2+6+3h=10+7h+h^2 \). Donc \( \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=7+h \xrightarrow[h\to0]{}7 \).

Réponse : \( f'(2)=7 \).

2 Dérivées usuelles ★★★

On dérive terme à terme : \( (5x^4)'=20x^3 \), \( (3\sqrt x)'=\dfrac{3}{2\sqrt x} \), \( \left(\dfrac2x\right)'=-\dfrac{2}{x^2} \).

Réponse : \( f'(x)=20x^3-\dfrac{3}{2\sqrt x}-\dfrac{2}{x^2} \).

3 Tangente à une courbe ★★★

\( f(1)=0 \) ; \( f'(x)=\ln x+1 \) donc \( f'(1)=1 \). La tangente est \( y=f(1)+f'(1)(x-1) \).

Réponse : \( y=x-1 \).

4 Dérivées composées ★★★

a) \( g'(x)=5\times2\,(2x+1)^4=10(2x+1)^4 \).

b) \( h'(x)=(6x-1)e^{3x^2-x} \).

5 Dérivabilité en 0 ★★★

a) Le taux \( \dfrac{|h|}{h} \) vaut \( 1 \) pour \( h>0 \) et \( -1 \) pour \( h<0 \) : pas de limite, donc non dérivable en \( 0 \).

b) Le taux est \( \dfrac{h|h|}{h}=|h|\to0 \) : \( f \) est dérivable en \( 0 \) et \( f'(0)=0 \).

6 Approximer une exponentielle ★★★

\( e^{0{,}1}\approx1+0{,}1+\dfrac{0{,}01}{2}+\dfrac{0{,}001}{6}=1{,}105166\ldots \)

Réponse : \( e^{0{,}1}\approx1{,}10517 \) (valeur exacte \( 1{,}1051709\ldots \), erreur inférieure à \( 5\times10^{-6} \)).

7 Rolle sur un polynôme ★★★

\( f \) est polynomiale, donc continue et dérivable. \( f(\sqrt3)=3\sqrt3-3\sqrt3+1=1 \) et \( f(-\sqrt3)=-3\sqrt3+3\sqrt3+1=1 \) : les valeurs aux bornes sont égales.

Rolle s’applique : \( f'(c)=3c^2-3=0\iff c=\pm1 \), et \( \pm1\in\,]-\sqrt3,\sqrt3[ \).

Réponse : \( c=-1 \) ou \( c=1 \).

8 Accroissements finis explicites ★★★

\( \dfrac{f(9)-f(1)}{9-1}=\dfrac{3-1}{8}=\dfrac14 \). On résout \( f'(c)=\dfrac{1}{2\sqrt c}=\dfrac14\iff\sqrt c=2\iff c=4 \).

Réponse : \( c=4\in\,]1,9[ \).

9 Encadrer un logarithme ★★★

a) \( \ln \) est continue sur \( [1,1+x] \), dérivable sur \( ]1,1+x[ \). Il existe \( c\in\,]1,1+x[ \) avec \( \ln(1+x)-\ln1=\dfrac{1}{c}\,x \). Comme \( \dfrac1{1+x}<\dfrac1c<1 \), on obtient \( \dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)

b) Pour \( x=0{,}5 \) : \( \dfrac13<\ln1{,}5<\dfrac12 \) (en effet \( \ln1{,}5=0{,}405\ldots \)).

10 Convexité d’un polynôme ★★★

\( f'(x)=4x^3-12x+1 \) et \( f''(x)=12x^2-12=12(x-1)(x+1) \).

\( f''\ge0 \) sur \( ]-\infty,-1] \) et sur \( [1,+\infty[ \) : \( f \) y est convexe. \( f''\le0 \) sur \( [-1,1] \) : \( f \) y est concave.

\( f'' \) change de signe en \( -1 \) et en \( 1 \) : ce sont les abscisses des points d’inflexion.

11 Inégalité de convexité ★★★

a) \( \exp''=\exp>0 \) : \( \exp \) est convexe, donc au-dessus de sa tangente en \( 0 \), d’équation \( y=1+x \).

b) \( \ln''(x)=-\dfrac1{x^2}<0 \) : \( \ln \) est concave, donc sous sa tangente en \( 1 \), \( y=x-1 \) : \( \ln u\le u-1 \), soit \( \ln(1+t)\le t \).

Avec \( t=\dfrac1n \) : \( n\ln\left(1+\dfrac1n\right)\le1 \). En passant à l’exponentielle (croissante) : \( \left(1+\dfrac1n\right)^n\le e \).

12 Produit de DL ★★★

\( e^x=1+x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6+o(x^3) \) et \( \cos x=1-\dfrac{x^2}2+o(x^3) \).

Produit : \( 1+x+\left(\dfrac12-\dfrac12\right)x^2+\left(\dfrac16-\dfrac12\right)x^3+o(x^3)=1+x-\dfrac{x^3}{3}+o(x^3) \).

La tangente en \( 0 \) est \( y=1+x \) et \( f(x)-(1+x)\sim-\dfrac{x^3}{3} \) : la courbe est au-dessus de la tangente pour \( x<0 \) et en dessous pour \( x>0 \) (point d’inflexion en \( 0 \)).

13 Limite par DL ★★★

\( \sin x=x-\dfrac{x^3}6+o(x^3) \) donc \( \sin x-x=-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3) \) et le quotient vaut \( -\dfrac16+o(1) \).

Réponse : la limite est \( -\dfrac16 \).

14 Inverse d’un trinôme ★★★

Posons \( u=x+x^2 \). Alors \( \dfrac1{1+u}=1-u+u^2-u^3+o(u^3) \) avec \( u^2=x^2+2x^3+o(x^3) \) et \( u^3=x^3+o(x^3) \).

D’où \( 1-x-x^2+x^2+2x^3-x^3+o(x^3)=1-x+x^3+o(x^3) \).

Contrôle : \( \dfrac1{1+x+x^2}=\dfrac{1-x}{1-x^3}=(1-x)(1+x^3+\dots) \), même résultat.

15 DL de la tangente ★★★

\( \cos x=1+u \) avec \( u=-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24} \). Alors \( \dfrac1{\cos x}=1-u+u^2=1+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{24}+\dfrac{x^4}{4}=1+\dfrac{x^2}2+\dfrac{5x^4}{24}+o(x^4) \).

Multiplions par \( \sin x=x-\dfrac{x^3}6+\dfrac{x^5}{120} \) : coefficient de \( x^3 \) : \( \dfrac12-\dfrac16=\dfrac13 \) ; de \( x^5 \) : \( \dfrac5{24}-\dfrac1{12}+\dfrac1{120}=\dfrac{25-10+1}{120}=\dfrac{2}{15} \).

Réponse : \( \tan x=x+\dfrac{x^3}3+\dfrac{2x^5}{15}+o(x^5) \).

16 Limite d’une puissance ★★★

\( (1+x)^{1/x}=\exp\left(\dfrac{\ln(1+x)}{x}\right) \) et \( \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1-\dfrac x2+\dfrac{x^2}3+o(x^2) \).

Donc \( (1+x)^{1/x}=e\cdot\exp\left(-\dfrac x2+o(x)\right)=e\left(1-\dfrac x2+o(x)\right) \). Alors \( e-(1+x)^{1/x}=\dfrac{e\,x}{2}+o(x) \).

Réponse : la limite est \( \dfrac e2 \).

17 Courbe et tangente ★★★

\( \cos x=1+u \), \( u=-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^4}{24} \). Alors \( \ln(1+u)=u-\dfrac{u^2}{2}+o(x^4)=-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^4}{24}-\dfrac{x^4}{8}+o(x^4) \).

Réponse : \( f(x)=-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{12}+o(x^4) \).

La tangente en \( 0 \) est \( y=0 \) et \( f(x)\sim-\dfrac{x^2}2<0 \) : la courbe est localement sous sa tangente.

18 Nombre de racines ★★★

\( P(1)=-2<0 \) et \( P(2)=7>0 \) : par le théorème des valeurs intermédiaires, il y a une racine dans \( ]1,2[ \).

Supposons deux racines \( r_10 \) : contradiction. La racine est unique.

Pour \( x^3+px+q \) avec \( p>0 \) : la dérivée \( 3x^2+p \) est strictement positive, donc au plus une racine ; les limites \( \pm\infty \) et le TVI en assurent l’existence : exactement une racine réelle.

19 Dérivée n-ième ★★★

Avec \( u=x^2 \) (dérivées \( 2x,\ 2,\ 0 \)) et \( v=e^x \) : \( f^{(n)}=x^2e^x+n\cdot2x\,e^x+\dbinom n2\cdot2\,e^x \).

Réponse : \( f^{(n)}(x)=\left(x^2+2nx+n(n-1)\right)e^x \).

Pour \( n=3 \) : \( (x^2+6x+6)e^x \). Contrôle direct : \( f'=(x^2+2x)e^x \), \( f''=(x^2+4x+2)e^x \), \( f^{(3)}=(x^2+6x+6)e^x \).

20 Asymptote par DL ★★★

Pour \( x>0 \) : \( g(x)=x\sqrt{1+u} \) avec \( u=\dfrac1x+\dfrac1{x^2} \). Alors \( \sqrt{1+u}=1+\dfrac u2-\dfrac{u^2}8+o\left(\dfrac1{x^2}\right) \).

Donc \( g(x)=x+\dfrac12+\dfrac12\cdot\dfrac1x-\dfrac18\cdot\dfrac1x+o\left(\dfrac1x\right)=x+\dfrac12+\dfrac{3}{8x}+o\left(\dfrac1x\right) \).

Réponse : asymptote \( y=x+\dfrac12 \) ; comme \( g(x)-\left(x+\dfrac12\right)\sim\dfrac3{8x}>0 \), la courbe est au-dessus de l’asymptote.

21 Deux limites en une ★★★

a) \( \cos x=1-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^4}{24}+o(x^4) \), donc le numérateur vaut \( \dfrac{x^4}{24}+o(x^4) \) : limite \( \dfrac1{24} \).

b) \( \ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3+o(x^3) \), le numérateur vaut \( \dfrac{x^3}3+o(x^3) \) : limite \( \dfrac13 \).