Arithmétique et polynômes : exercices de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Billes en sacs ★★★

Un collectionneur possède \(2457\) billes qu’il range par sacs de \(53\) billes. Effectue la division euclidienne de \(2457\) par \(53\) et interprète le résultat.

2 Dividende négatif ★★★

Détermine le quotient et le reste de la division euclidienne de \(-123\) par \(8\).

3 Carrelage ★★★

Une terrasse rectangulaire mesure \(168\) cm sur \(126\) cm. On veut la recouvrir de carreaux carrés identiques, sans découpe, les plus grands possible. Quelle est la taille d’un carreau et combien en faut-il ?

4 Vrai ou faux en arithmétique ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1. \(91\) est un nombre premier.
2. \(2\) est le seul nombre premier pair.
3. Si \(6\) divise \(bc\), alors \(6\) divise \(b\) ou \(6\) divise \(c\).
4. \(1\) est un nombre premier.

5 Degrés de polynômes ★★★

On pose \(A = X^4 - 3X + 1\) et \(B = -X^4 + X^2\). Calcule \(A + B\) et \(AB\) (degrés seulement pour \(AB\)) et donne leurs degrés.

6 Racines de x³ − 4x ★★★

Soit \(P = X^3 - 4X\). Factorise \(P\), donne ses racines, puis lis sur la courbe ci-dessous le signe de \(P(x)\).

7 Somme et produit ★★★

a) Sans calculer de discriminant, trouve les racines de \(X^2 - 9X + 20\).

b) Trouve deux nombres de somme \(13\) et de produit \(40\).

8 Puissance et reste ★★★

Quel est le reste de la division euclidienne de \(2^{100}\) par \(7\) ?

9 PGCD et coefficients de Bézout ★★★

a) Calcule \(1785 \wedge 546\) par l’algorithme d’Euclide.

b) Trouve des entiers \(u, v\) tels que \(1785u + 546v = 1785 \wedge 546\).

10 Équation diophantienne ★★★

Résous dans \(\mathbb{Z}^2\) l’équation \(14x + 9y = 5\).

11 Application du théorème de Gauss ★★★

a) Montre que si \(9\) divise \(4n\), alors \(9\) divise \(n\).

b) Est-il vrai que si \(12\) divise \(6n\), alors \(12\) divise \(n\) ?

12 Nombre de diviseurs ★★★

Décompose \(360\) en facteurs premiers puis détermine le nombre de ses diviseurs positifs.

13 Division de polynômes ★★★

Effectue la division euclidienne de \(A = 2X^4 - X^3 + 3X - 1\) par \(B = X^2 - X + 2\).

14 Racine double ★★★

Montre que \(2\) est racine double de \(P = X^3 - 3X^2 + 4\), puis factorise \(P\).

15 Coefficients inconnus ★★★

Détermine les réels \(a\) et \(b\) pour que \(P = X^3 + aX^2 + bX - 6\) soit divisible par \(X - 1\) et par \(X + 2\), puis factorise \(P\).

16 Factorisation de X⁴ + X² + 1 ★★★

a) Montre que \(X^4 + X^2 + 1 = (X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1)\).

b) Factorise ce polynôme dans \(\mathbb{R}[X]\) puis dans \(\mathbb{C}[X]\).

17 Fonctions symétriques ★★★

Soit \(a, b, c\) les racines complexes de \(P = X^3 - 2X^2 + 3X - 5\). Sans les calculer, détermine \(a + b + c\), \(a^2 + b^2 + c^2\) et \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\). Que peut-on dire des racines ?

18 Racines en progression arithmétique ★★★

Résous \(X^3 - 12X^2 + 44X - 48 = 0\) sachant que ses trois racines sont en progression arithmétique.

19 Trois nombres premiers consécutifs impairs ★★★

Trouve tous les entiers premiers \(p\) tels que \(p\), \(p + 2\) et \(p + 4\) soient tous premiers.

20 Somme et PGCD imposés ★★★

Trouve tous les couples d’entiers strictement positifs \((a, b)\) avec \(a < b\), \(a + b = 180\) et \(a \wedge b = 15\).

21 Reste d’une division par X² − 1 ★★★

Détermine le reste de la division euclidienne de \(P = X^{100} + 3X^{51} - 2\) par \(X^2 - 1\).