Dérivation et développements limités : cours de maths Maths Sup

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Cours de maths en Maths Sup : Dérivation et développements limités — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

La dérivation mesure la variation instantanée d’une fonction ; les développements limités en font un outil d’approximation polynomiale précis au voisinage d’un point. Ce chapitre rassemble les théorèmes de base de l’analyse réelle de première année : Rolle, accroissements finis, convexité, formule de Taylor-Young, puis le calcul pratique des limites.

Sommaire

1. Nombre dérivé et dérivées usuelles

Nombre dérivé

Soit \( f \) définie sur un intervalle \( I \) et \( a\in I \). On dit que \( f \) est dérivable en \( a \) si le taux d’accroissement \( \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \) admet une limite finie quand \( h\to 0 \). Cette limite est notée \( f'(a) \). Géométriquement, la tangente en \( A(a\,;f(a)) \) a pour équation \( y=f(a)+f'(a)(x-a) \).

Une fonction dérivable en \( a \) est continue en \( a \) ; la réciproque est fausse : \( x\mapsto |x| \) est continue en \( 0 \) mais n’y est pas dérivable (dérivées à gauche et à droite égales à \( -1 \) et \( 1 \)).

Fonction	Dérivée
\( x^n \)	\( n x^{n-1} \)
\( \sqrt{x} \)	\( \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( \ln x \)	\( \dfrac{1}{x} \)
\( e^{x} \)	\( e^{x} \)
\( \sin x \) ; \( \cos x \)	\( \cos x \) ; \( -\sin x \)
\( \arctan x \)	\( \dfrac{1}{1+x^2} \)

Opérations : \( (u+v)'=u'+v' \), \( (uv)'=u'v+uv' \), \( \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2} \), \( (v\circ u)'=u'\times v'\circ u \). La formule de Leibniz donne \( (uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{(k)}v^{(n-k)} \).

Exemple 1

Pour \( f(x)=x\ln x \), on a \( f'(x)=\ln x+1 \). En \( a=e \) : \( f(e)=e \) et \( f'(e)=2 \), donc la tangente a pour équation \( y=e+2(x-e)=2x-e \).

2. Théorème de Rolle

Théorème de Rolle

Si \( f \) est continue sur \( [a,b] \), dérivable sur \( ]a,b[ \) et si \( f(a)=f(b) \), alors il existe \( c\in\,]a,b[ \) tel que \( f'(c)=0 \).

Idée de la preuve : \( f \) continue sur un segment atteint un maximum et un minimum. Si l’un des deux est atteint à l’intérieur, la dérivée y est nulle ; sinon \( f \) est constante.

Erreur classique

Les trois hypothèses sont indispensables : \( x\mapsto |x| \) sur \( [-1,1] \) vérifie \( f(-1)=f(1) \) mais sa dérivée ne s’annule jamais, car elle n’est pas dérivable en \( 0 \).

Conséquence usuelle : entre deux racines d’un polynôme dérivable se trouve une racine de sa dérivée, ce qui permet de borner le nombre de racines réelles.

3. Égalité des accroissements finis

Égalité des accroissements finis

Si \( f \) est continue sur \( [a,b] \) et dérivable sur \( ]a,b[ \), il existe \( c\in\,]a,b[ \) tel que \( f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) \).

Preuve : on applique Rolle à \( g(x)=f(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \), qui vérifie \( g(a)=g(b)=f(a) \).

L’inégalité des accroissements finis en découle : si \( |f'|\le M \) sur \( ]a,b[ \), alors \( |f(b)-f(a)|\le M(b-a) \). On en déduit aussi que \( f'\ge 0 \) sur un intervalle équivaut à \( f \) croissante, et que \( f'>0 \) entraîne \( f \) strictement croissante.

Exemple 2

Pour \( f=\ln \) sur \( [1,1+x] \) avec \( x>0 \) : \( \ln(1+x)=\dfrac{x}{c} \) avec \( 1

4. Fonctions convexes

Convexité

\( f \) est convexe sur \( I \) si, pour tous \( x,y\in I \) et \( t\in[0,1] \), \( f(tx+(1-t)y)\le t f(x)+(1-t)f(y) \) : la corde est au-dessus de la courbe. \( f \) est concave si \( -f \) est convexe.

Caractérisations

Pour \( f \) dérivable, \( f \) est convexe \( \iff f' \) est croissante \( \iff \) la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes. Pour \( f \) deux fois dérivable : convexe \( \iff f''\ge 0 \). Un point où \( f'' \) s’annule en changeant de signe est un point d’inflexion.

Exemples d’inégalités classiques : \( e^x\ge 1+x \) (position de \( \exp \) par rapport à sa tangente en \( 0 \)) et \( \ln(1+x)\le x \).

5. Formule de Taylor-Young

Taylor-Young

Si \( f \) est de classe \( \mathcal{C}^{n} \) au voisinage de \( a \) (ou seulement \( n \) fois dérivable en \( a \)), alors
\[ f(a+h)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+o(h^n). \]

Le terme \( o(h^n) \) désigne une quantité de la forme \( h^n\varepsilon(h) \) avec \( \varepsilon(h)\to 0 \). Le polynôme obtenu est le développement limité (DL) de \( f \) à l’ordre \( n \) en \( a \) ; il est unique. Un DL à l’ordre 1 équivaut à la dérivabilité : \( f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h) \).

6. Développements limités usuels en 0

Fonction	Développement limité
\( e^{x} \)	\( 1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dots+\dfrac{x^n}{n!}+o(x^n) \)
\( \sin x \)	\( x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}+o(x^6) \)
\( \cos x \)	\( 1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+o(x^5) \)
\( \ln(1+x) \)	\( x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dots+\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+o(x^n) \)
\( \dfrac{1}{1-x} \)	\( 1+x+x^2+\dots+x^n+o(x^n) \)
\( (1+x)^{\alpha} \)	\( 1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^3+o(x^3) \)
\( \arctan x \)	\( x-\dfrac{x^3}{3}+o(x^4) \)

Plus l’ordre est élevé, plus le polynôme colle à la fonction près de \( 0 \) : la droite \( y=x \) approche \( \sin \) à l’ordre 1, la cubique \( y=x-\frac{x^3}{6} \) à l’ordre 3.

7. Opérations sur les développements limités

Somme : on additionne les polynômes, à l’ordre le plus petit.
Produit : on multiplie les polynômes et on tronque au degré \( n \).
Composition : si \( u(x)\to 0 \), on substitue le DL de \( u \) dans celui de \( g \), puis on tronque.
Quotient : on écrit \( \dfrac{1}{1+u}=1-u+u^2-\dots \) avec \( u\to 0 \).
Dérivation d’un DL : possible si \( f' \) admet un DL ; intégration terme à terme toujours possible.

Méthode : produit de DL

Fixer l’ordre \( n \) demandé.
Écrire chaque DL à l’ordre \( n \) (au moins).
Développer, ne garder que les puissances \( \le n \).
Conclure avec \( o(x^n) \).

Exemple 3

À l’ordre 3 : \( e^{x}\cos x=\left(1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}\right)\left(1-\dfrac{x^2}{2}\right)+o(x^3)=1+x-\dfrac{x^3}{3}+o(x^3) \).

Erreur classique

Perdre un ordre : pour diviser par \( x \) ou \( x^2 \) plus tard, développe le numérateur à un ordre plus élevé que l’ordre final souhaité.

8. Applications aux limites

Un DL donne un équivalent (premier terme non nul) et permet de lever les formes indéterminées. Il donne aussi la position d’une courbe par rapport à sa tangente : si \( f(x)=f(0)+f'(0)x+ax^k+o(x^k) \) avec \( a\ne0 \), le signe de \( a x^k \) indique la position.

Exemple 4

\( \dfrac{\sin x-x}{x^3}=\dfrac{-x^3/6+o(x^3)}{x^3}\longrightarrow-\dfrac{1}{6} \). De même \( \dfrac{e^x-1-x}{x^2}\to\dfrac12 \).

Astuce de Zyro

Sur ma planète on dit : « un DL, c’est un microscope ». Pour une limite en \( 0 \), développe chaque morceau jusqu’à ce que les termes ne s’annulent plus tous : le premier terme survivant te donne la réponse.

À retenir

\( f \) dérivable en \( a \) : \( f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h) \), tangente \( y=f(a)+f'(a)(x-a) \).
Rolle : continue, dérivable, \( f(a)=f(b) \) \( \Rightarrow \) \( f'(c)=0 \). Accroissements finis : \( f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) \).
Convexe \( \iff f' \) croissante \( \iff f''\ge 0 \) \( \iff \) courbe au-dessus de ses tangentes.
Taylor-Young : \( f(a+h)=\sum_{k\le n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+o(h^n) \).
Connais par cœur les DL de \( e^x \), \( \sin \), \( \cos \), \( \ln(1+x) \), \( \frac{1}{1-x} \), \( (1+x)^\alpha \).
Pour une limite : développe à l’ordre juste suffisant et lis le premier terme non nul.