Applications et relations : exercices de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Image et image réciproque d’une fonction affine ★★★

Soit \( f : \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) définie par \( f(x)=3x-5 \).

1. Déterminer \( f(\{1,2,4\}) \).
2. Déterminer \( f^{-1}([4,10]) \).
3. Déterminer \( f^{-1}(\{-5\}) \).

2 Les entiers impairs ★★★

Soit \( f : \mathbb{Z}\to\mathbb{Z},\ n\mapsto 2n+1 \). Cette application est-elle injective ? surjective ? Déterminer \( f(\mathbb{Z}) \) et \( f^{-1}(\{7,10\}) \).

3 Le carré, images et antécédents ★★★

Soit \( f : \mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto x^2 \). Déterminer : a) \( f([-2,3]) \) ; b) \( f^{-1}([1,4]) \) ; c) \( f^{-1}(\,]-\infty,-1[\,) \) ; d) \( f^{-1}(\{0\}) \).

4 Une application entre ensembles finis ★★★

Soient \( E=\{1,2,3,4\} \), \( F=\{a,b,c\} \) et \( f : E\to F \) définie par \( f(1)=b,\ f(2)=a,\ f(3)=b,\ f(4)=c \). Déterminer \( f(\{1,3\}) \), \( f^{-1}(\{b\}) \), \( f^{-1}(\{a,c\}) \), puis dire si \( f \) est injective, surjective.

5 Deux composées ★★★

Soient \( f(x)=x+2 \) et \( g(x)=x^2 \), toutes deux de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \). Calculer \( (g\circ f)(1) \), \( (f\circ g)(1) \), puis déterminer \( g\circ f \) et \( f\circ g \). Sont-elles égales ?

6 Parité et relation d’équivalence ★★★

Sur \( \mathbb{Z} \), on pose \( x\,\mathcal{R}\,y\iff x-y \text{ est pair} \). Montrer que \( \mathcal{R} \) est une relation d’équivalence et déterminer ses classes.

7 Restes dans une division ★★★

Déterminer le reste de \( 3^{20} \) dans la division par \( 7 \), puis le reste de \( 15\times17+23 \) dans la division par \( 11 \).

8 Une fonction rationnelle non injective ★★★

Soit \( f : \mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=\dfrac{x}{1+x^2} \).

1. Calculer \( f(2) \) et \( f(\tfrac12) \). Que conclure ?
2. Montrer que \( f(\mathbb{R})=\left[-\tfrac12,\tfrac12\right] \).

9 Calculer une application réciproque ★★★

Soit \( f : \mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R}\setminus\{2\},\ f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1} \). Montrer que \( f \) est bijective et déterminer \( f^{-1} \). Vérifier avec \( x=3 \).

10 Deux applications de N dans N ★★★

On définit \( f(n)=n+1 \) et \( g(n)=\lfloor n/2\rfloor \) (quotient de la division euclidienne par \( 2 \)). Étudier injectivité et surjectivité de \( f \), \( g \), \( g\circ f \) et \( f\circ g \).

11 Image d’une intersection ★★★

Soit \( f : E\to F \), \( A_1,A_2\subset E \). Montrer que \( f(A_1\cap A_2)\subset f(A_1)\cap f(A_2) \), puis trouver un exemple où l’inclusion est stricte.

12 Les points à même distance de l’origine ★★★

Dans \( \mathbb{R}^2 \), on pose \( (x,y)\sim(x',y')\iff x^2+y^2=x'^2+y'^2 \).

1. Montrer que \( \sim \) est une relation d’équivalence.
2. Décrire la classe de \( A(3\,;4) \) et citer trois autres de ses points.
3. Combien de points entiers y a-t-il dans la classe de \( A \) ?

13 Une équation de congruence ★★★

Résoudre dans \( \mathbb{Z} \) l’équation \( 5x\equiv4\ [13] \), puis donner la solution comprise entre \( 0 \) et \( 12 \).

14 Ordres sur le plan ★★★

Sur \( \mathbb{R}^2 \), on définit : (1) \( (a,b)\le_1(c,d)\iff a\le c \text{ et } b\le d \) ; (2) \( (a,b)\le_2(c,d)\iff a

1. Montrer que \( \le_1 \) est une relation d’ordre. Est-elle totale ?
2. Montrer que \( \le_2 \) est un ordre total (ordre lexicographique).

15 Injectivité et intersection ★★★

Montrer qu’une application \( f : E\to F \) est injective si et seulement si, pour toutes parties \( A_1,A_2\subset E \), \( f(A_1\cap A_2)=f(A_1)\cap f(A_2) \).

16 Composée injective ou surjective ★★★

Soient \( f : E\to F \) et \( g : F\to G \).

1. Montrer : si \( g\circ f \) est injective, alors \( f \) est injective.
2. Montrer : si \( g\circ f \) est surjective, alors \( g \) est surjective.
3. Donner un exemple où \( g\circ f \) est bijective alors que \( f \) n’est pas surjective et \( g \) n’est pas injective.

17 Un système de congruences ★★★

Résoudre le système \( x\equiv2\ [5] \) et \( x\equiv3\ [7] \). Donner l’ensemble des solutions et la plus petite solution positive.

18 Relation « même cardinal » sur les parties ★★★

Soit \( E=\{1,2,3,4,5\} \). Sur \( \mathcal{P}(E) \), on pose \( A\sim B\iff |A|=|B| \). Montrer que c’est une relation d’équivalence, déterminer le nombre de classes et le nombre d’éléments de chacune. Vérifier que la somme est \( 2^5 \).

19 Une bijection sans formule de réciproque ★★★

Soit \( f : \mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x^3+x \). Montrer que \( f \) est bijective. Sans résoudre d’équation du troisième degré, déterminer \( f^{-1}(2) \) et \( f^{-1}(10) \).

20 Dénombrer injections, surjections, bijections ★★★

Déterminer le nombre : a) d’injections de \( \{1,2\} \) dans \( \{a,b,c,d\} \) ; b) de surjections de \( \{1,2,3\} \) sur \( \{a,b\} \) ; c) de bijections d’un ensemble à \( 5 \) éléments sur lui-même ; d) de surjections de \( \{1,2,3,4\} \) sur \( \{a,b,c\} \).

21 Factoriser par la relation « même image » ★★★

Soit \( f : \mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x^2-2x \) et \( x\sim y\iff f(x)=f(y) \).

1. Montrer que \( x\sim y\iff y=x \text{ ou } y=2-x \).
2. Déterminer la classe de \( 3 \) et celle de \( 1 \).
3. Montrer que \( \overline{x}\mapsto f(x) \) est une bijection de \( \mathbb{R}/{\sim} \) sur \( [-1,+\infty[ \).