Algèbre générale et dualité : corrigé du contrôle de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Le groupe Z/10Z / 4 pts

(a) Ordre de \(k\) : \(\dfrac{10}{\operatorname{pgcd}(10,k)}\) : \(0:1\) ; \(1,3,7,9:10\) ; \(2,4,6,8:5\) ; \(5:2\). (1 pt)

(b) Par Lagrange, l’ordre d’un sous-groupe divise \(10\) ; il y en a un pour chaque diviseur : \(\{0\}\), \(\{0,5\}\), \(\{0,2,4,6,8\}\) et \(\mathbb Z/10\mathbb Z\), soit \(4\) sous-groupes. (1 pt)

(c) Les éléments d’ordre \(10\) : \(1,3,7,9\). (1 pt)

(d) Un morphisme est déterminé par \(a=f(1)\) tel que \(10a\equiv0\pmod4\), soit \(2a\equiv0\pmod4\), donc \(a\in\{0,2\}\) : \(2\) morphismes. (1 pt)

2 Une permutation de S6 / 4 pts

(a) \(\sigma=(1\;4\;2\;6)(3\;5)\). (1 pt)

(b) Ordre : \(\operatorname{ppcm}(4,2)=4\). Signature : \((-1)^3\times(-1)^1=+1\). (1 pt)

(c) \(\sigma^2=(1\;2)(4\;6)\) (\(1\to4\to2\), \(2\to6\to1\), \(4\to2\to6\), \(6\to1\to4\), et \(3,5\) fixes). Comme \(2026=4\times506+2\), \(\sigma^{2026}=\sigma^2=(1\;2)(4\;6)\). (1 pt)

(d) On inverse chaque cycle : \(\sigma^{-1}=(1\;6\;2\;4)(3\;5)\). (1 pt)

3 L’anneau Z/15Z / 3 pts

(a) Les classes premières avec \(15\) : \(1,2,4,7,8,11,13,14\), soit \(8\). (1 pt)

(b) \(4\times4=16\equiv1\), donc \(4^{-1}=4\) et \(x=4\times7=28\equiv13\). Vérification : \(4\times13=52=45+7\). (1 pt)

(c) \(3\times5=15\equiv0\) : \(3\) et \(5\) sont des diviseurs de zéro. (1 pt)

4 Factoriser et trouver un pgcd / 3 pts

(a) \(P(2)=16-12-6+2=0\). (1 pt)

(b) \(P=(X-2)(2X^2+X-1)\) et \(2X^2+X-1=(2X-1)(X+1)\), donc \(P=(X-2)(2X-1)(X+1)\). (1 pt)

(c) \(Q=(X-2)(X+1)\) divise \(P\), donc \(\operatorname{pgcd}(P,Q)=Q=X^2-X-2\). (1 pt)

5 Déterminant d’une matrice tridiagonale / 3 pts

(a) Développement selon la première ligne : \(2(4-1)-1(2-0)=6-2=4\). (1 pt)

(b) \(\det(2A)=2^3\times4=32\) et \(\det(A^3)=4^3=64\). (1 pt)

(c) \(\det A\neq0\), donc \(A\) est inversible et son rang vaut \(3\). (1 pt)

6 Base duale et coordonnées / 3 pts

(a) \(P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}\), \(\det P=3-2=1\), \(P^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -1 \\ -2 & 1\end{pmatrix}\). (1 pt)

(b) \(u_1^*(x,y)=3x-y\) et \(u_2^*(x,y)=-2x+y\). Vérification : \(u_1^*(1,2)=1\), \(u_1^*(1,3)=0\), \(u_2^*(1,2)=0\), \(u_2^*(1,3)=1\). (1 pt)

(c) \(u_1^*(5,7)=15-7=8\) et \(u_2^*(5,7)=-10+7=-3\), donc \(w=8u_1-3u_2\) : \((8-3,16-9)=(5,7)\). (1 pt)