21 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
1 Ordres dans Z/6Z ★★★
Dans le groupe additif \(\mathbb Z/6\mathbb Z\), détermine l’ordre de chacun des six éléments. Quels éléments engendrent le groupe ?
2 Une exponentielle comme morphisme ★★★
On considère \(f:(\mathbb R,+)\to(\mathbb R_+^*,\times)\) définie par \(f(x)=e^{3x}\). Montre que \(f\) est un morphisme, puis détermine son noyau. Est-il un isomorphisme ?
3 Décomposer une permutation ★★★
Soit \(\sigma\in\mathfrak S_6\) définie par \(\sigma(1)=3,\ \sigma(2)=4,\ \sigma(3)=5,\ \sigma(4)=2,\ \sigma(5)=1,\ \sigma(6)=6\). Écris \(\sigma\) comme produit de cycles disjoints, puis donne son ordre et sa signature.
4 Somme et intersection d’idéaux de Z ★★★
Détermine \(12\mathbb Z+18\mathbb Z\) et \(12\mathbb Z\cap18\mathbb Z\), puis écris une relation de Bézout entre \(12\) et \(18\).
5 Division euclidienne par X − 2 ★★★
Effectue la division euclidienne de \(P=X^3+2X^2-5X+1\) par \(X-2\). Quel est le reste ? Que vaut \(P(2)\) ?
6 Déterminant d’ordre 3 ★★★
Calcule \(\det A\) pour \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}\). La matrice est-elle inversible ?
7 Noyau d’une forme linéaire ★★★
Sur \(\mathbb R^3\), on pose \(\varphi(x,y,z)=2x-y+3z\). Montre que \(\ker\varphi\) est un plan et donnes-en une base.
8 Non commutativité de S3 ★★★
Dans \(\mathfrak S_3\), calcule \((1\;2)\circ(2\;3)\) et \((2\;3)\circ(1\;2)\). Que conclus-tu ? Donne l’ordre de chaque élément, puis le nombre de sous-groupes de \(\mathfrak S_3\).
9 Puissances d’une permutation ★★★
Dans \(\mathfrak S_7\), soit \(\sigma=(1\;2\;3\;4)(5\;6\;7)\). Donne l’ordre et la signature de \(\sigma\), puis écris \(\sigma^{100}\).
10 Un idéal de polynômes ★★★
Montre que \(I=\{P\in\mathbb R[X]\mid P(1)=0\}\) est un idéal de \(\mathbb R[X]\), puis qu’il est engendré par \(X-1\).
11 pgcd et relation de Bézout ★★★
Dans \(\mathbb Q[X]\), calcule le pgcd de \(A=X^4-1\) et \(B=X^3+X^2+2X+2\) par l’algorithme d’Euclide.
12 Un Vandermonde ★★★
Calcule \(\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&4&9\end{vmatrix}\) de deux façons : par la formule de Vandermonde puis par opérations sur les colonnes.
13 Base duale dans le plan ★★★
Dans \(\mathbb R^2\), soit la base \(u_1=(2,1)\), \(u_2=(1,1)\). Détermine les formes \(u_1^*\) et \(u_2^*\) de la base duale, puis les coordonnées de \(w=(7,4)\) dans \((u_1,u_2)\).
14 Même noyau, formes proportionnelles ★★★
Sur \(\mathbb R^3\), on pose \(\varphi=2x-y+3z\), \(\psi=-4x+2y-6z\) et \(\chi=2x-y+4z\). Les formes \(\varphi\) et \(\psi\) ont-elles même noyau ? Et \(\varphi\) et \(\chi\) ?
15 Groupe d’exposant 2 ★★★
Soit \(G\) un groupe tel que \(x^2=e\) pour tout \(x\in G\). Montre que \(G\) est abélien. Donne un exemple de tel groupe à \(4\) éléments.
16 Morphismes de Z/12Z dans Z/18Z ★★★
Combien y a-t-il de morphismes de groupes de \(\mathbb Z/12\mathbb Z\) dans \(\mathbb Z/18\mathbb Z\) ? Les décrire.
17 Permutations d’ordre 6 dans S5 ★★★
Combien \(\mathfrak S_5\) contient-il de permutations d’ordre \(6\) ? Quelle est leur signature ?
18 Inversibles et équation dans Z/20Z ★★★
Dans l’anneau \(\mathbb Z/20\mathbb Z\) : (a) liste les éléments inversibles ; (b) résous \(7x=3\) ; (c) montre que l’anneau n’est pas intègre.
19 Reste modulo un produit ★★★
Détermine le reste de la division de \(P=X^5-3X^2+2\) par \((X-1)(X+2)\).
20 Dualité et formule de Simpson ★★★
Dans \(E=\mathbb R_2[X]\), on note \(\mathrm{ev}_0,\mathrm{ev}_1,\mathrm{ev}_2\) les évaluations en \(0,1,2\). (a) Détermine la base antéduale \((L_0,L_1,L_2)\). (b) Écris la forme \(\Phi:P\mapsto\int_0^2P(t)\,dt\) dans la base \((\mathrm{ev}_0,\mathrm{ev}_1,\mathrm{ev}_2)\) de \(E^*\).
21 Déterminant et rang avec paramètre ★★★
Pour \(m\in\mathbb R\), soit \(A(m)=\begin{pmatrix}1 & 1 & m \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1\end{pmatrix}\). Calcule \(\det A(m)\) et discute le rang de \(A(m)\).
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