Séries de Fourier : exercices corrigés de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Périodes et séries de Fourier ★★★

\(\cos 2t\) a pour période \(\pi\), donc \(2\pi\) aussi (\(2\pi = 2\times\pi\)). \(\sin 3t\) a pour période \(\dfrac{2\pi}{3}\), donc \(2\pi\) aussi (\(2\pi = 3\times\dfrac{2\pi}{3}\)). La somme est donc \(2\pi\)-périodique.

Pour \(g\) : \(g(t + 2\pi) = \cos\Big(\dfrac{t}{2} + \pi\Big) = -\cos\dfrac{t}{2} = -g(t) \neq g(t)\) (par exemple en \(t = 0\) : \(g(2\pi) = -1\neq 1\)). \(g\) est \(4\pi\)-périodique mais pas \(2\pi\)-périodique.

2 Parité et coefficients nuls ★★★

\(f_1\) est impaire : \(a_n = 0\) pour tout \(n\) (seuls les \(b_n\) interviennent).

\(f_2\) : produit de deux fonctions impaires, donc paire : \(b_n = 0\) pour tout \(n\).

\(f_3\) n’est ni paire ni impaire. Mais \(f_3 = t + t^2\) est somme d’une fonction impaire et d’une paire : les \(b_n\) viennent de \(t\), les \(a_n\) de \(t^2\), et aucun coefficient n’est nul en général.

3 Polynôme trigonométrique ★★★

Par unicité des coefficients d’un polynôme trigonométrique : \(a_0 = 6\), \(a_1 = 2\), \(b_2 = -4\), tous les autres sont nuls.

Ainsi \(c_0 = \dfrac{a_0}{2} = 3\), \(c_{\pm 1} = \dfrac{a_1}{2} = 1\) et \(c_{\pm 2} = \dfrac{a_2 \mp i b_2}{2} = \mp\dfrac{i(-4)}{2} = \pm 2i\). Soit \(c_2 = 2i\) et \(c_{-2} = -2i\). Vérification : \(-4\sin 2t = 2i\,e^{2it} - 2i\,e^{-2it}\).

4 Un signal 0 – 1 ★★★

\(a_0 = \dfrac{1}{\pi}\int_0^{\pi}1\,dt = 1\). Pour \(n \geq 1\), \(a_n = \dfrac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\cos nt\,dt = \dfrac{\sin n\pi}{n\pi} = 0\).

\(b_n = \dfrac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\sin nt\,dt = \dfrac{1 - (-1)^n}{n\pi}\). Donc \(b_1 = \dfrac{2}{\pi}\), \(b_2 = 0\), \(b_3 = \dfrac{2}{3\pi}\).

5 Parseval pour un polynôme trigonométrique ★★★

Les coefficients sont \(a_0 = 6\), \(a_1 = 2\), \(b_2 = -4\). Parseval : \(\dfrac{a_0^2}{4} + \dfrac{1}{2}\sum(a_n^2 + b_n^2) = 9 + \dfrac{4 + 16}{2} = 9 + 10 = 19\).

6 Valeur de la somme en un point ★★★

\(f\) est \(C^1\) par morceaux : Dirichlet s’applique. En \(\dfrac{\pi}{2}\), \(f\) est continue : somme \(\dfrac{\pi}{2}\). En \(\pi\), \(f(\pi^-) = \pi\) et \(f(\pi^+) = -\pi\) : somme \(\dfrac{\pi + (-\pi)}{2} = 0\). En \(\dfrac{3\pi}{2}\), on a \(f\Big(\dfrac{3\pi}{2}\Big) = f\Big(-\dfrac{\pi}{2}\Big) = -\dfrac{\pi}{2}\) par périodicité : somme \(-\dfrac{\pi}{2}\).

7 Vrai ou faux ? ★★★

(a) Vrai : \(f(t)\sin nt\) est impaire, son intégrale sur \([-\pi, \pi]\) est nulle.

(b) Faux : il existe des fonctions continues dont la série de Fourier diverge en un point ; il faut une hypothèse supplémentaire comme « \(C^1\) par morceaux ».

(c) Vrai : par Bessel, \(\sum|c_n|^2\) converge, donc \(c_n \to 0\).

(d) Vrai : \(a_0 = \dfrac{1}{\pi}\int f\) et l’intégrale d’une fonction impaire sur un intervalle symétrique est nulle.

8 Fourier de la parabole ★★★

\(f\) est paire : \(b_n = 0\). \(a_0 = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2dt = \dfrac{2\pi^2}{3}\). Pour \(n \geq 1\), deux intégrations par parties donnent \(a_n = \dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi}t^2\cos nt\,dt = \dfrac{4(-1)^n}{n^2}\).

\(f\) est continue et \(C^1\) par morceaux, donc \(t^2 = \dfrac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n\geq1}\dfrac{(-1)^n}{n^2}\cos nt\). En \(t = 0\) : \(0 = \dfrac{\pi^2}{3} + 4\sum\dfrac{(-1)^n}{n^2}\), donc \(\sum\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{12}\).

9 Période 2 ★★★

\(f\) est impaire, \(a_n = 0\). \(b_n = 2\int_0^1 x\sin(n\pi x)\,dx = 2\Big[-\dfrac{x\cos n\pi x}{n\pi}\Big]_0^1 + 2\int_0^1\dfrac{\cos n\pi x}{n\pi}dx = \dfrac{-2(-1)^n}{n\pi} + 0 = \dfrac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}\).

En \(x = \dfrac{1}{2}\), \(f\) est continue et la somme vaut \(\dfrac{1}{2}\) : \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{\pi}\Big(1 - 0 - \dfrac{1}{3} + 0 + \dfrac{1}{5} - \cdots\Big)\), on retrouve \(\dfrac{\pi}{4}\) pour la somme de Leibniz.

10 Énergie captée par S₃ ★★★

\(b_1 = \dfrac{4}{\pi}\), \(b_3 = \dfrac{4}{3\pi}\), d’où \(b_1^2 + b_3^2 = \dfrac{16}{\pi^2}\Big(1 + \dfrac{1}{9}\Big) = \dfrac{160}{9\pi^2} \approx 1{,}801\).

\(\dfrac{1}{\pi}\int g^2 = 2\). La proportion est \(\dfrac{80}{9\pi^2} \approx 0{,}901\) : \(S_3\) capte environ \(90\) % de l’énergie du signal. Cela respecte Bessel (\(1{,}801 \leq 2\)) et l’erreur quadratique restante vaut \(2 - 1{,}801 \approx 0{,}199\).

11 Moyenne de Cesàro de la rampe ★★★

Avec \(b_1 = 2\), \(b_2 = -1\) : \(S_2 f(t) = 2\sin t - \sin 2t\). Les coefficients de Fejér sont \(1 - \dfrac{n}{3}\) : \(\sigma_2 f(t) = \dfrac{2}{3}\cdot 2\sin t + \dfrac{1}{3}(-1)\sin 2t = \dfrac{4}{3}\sin t - \dfrac{1}{3}\sin 2t\).

En \(t = \dfrac{\pi}{2}\) : \(S_2 f = 2\), \(\sigma_2 f = \dfrac{4}{3}\), alors que \(f\Big(\dfrac{\pi}{2}\Big) = \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}571\). Les erreurs sont \(\approx 0{,}429\) pour \(S_2\) et \(\approx 0{,}237\) pour \(\sigma_2\) : la moyenne de Cesàro est ici meilleure.

12 Chaleur dans une barre ★★★

Chaque mode évolue en \(e^{-kn^2t}\) avec \(k = \dfrac{1}{4}\) : \(u(x,t) = 3e^{-t/4}\sin x + 5e^{-4t}\sin 4x\).

En \(x = \dfrac{\pi}{2}\) : \(\sin\dfrac{\pi}{2} = 1\), \(\sin 2\pi = 0\) ; donc \(u\Big(\dfrac{\pi}{2}, 1\Big) = 3e^{-1/4} \approx 2{,}336\).

\(5e^{-4t} < 0{,}01 \iff e^{-4t} < 0{,}002 \iff t > \dfrac{\ln 500}{4} \approx 1{,}554\).

13 Leibniz par Dirichlet ★★★

En \(t = 0\), les sinus sont nuls : la série vaut \(\dfrac{1}{2}\), ce qui est bien \(\dfrac{f(0^+) + f(0^-)}{2} = \dfrac{1 + 0}{2}\) : cohérent avec Dirichlet.

En \(t = \dfrac{\pi}{2}\), \(f\) est continue de valeur \(1\) et \(\sin\dfrac{(2k+1)\pi}{2} = (-1)^k\) : \(1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{\pi}\sum\dfrac{(-1)^k}{2k+1}\), soit \(\sum\dfrac{(-1)^k}{2k+1} = \dfrac{\pi}{4}\).

14 Le noyau de Fejér F₁ ★★★

Par la définition, \(F_1(t) = 1 + \Big(1 - \dfrac{1}{2}\Big)(e^{it} + e^{-it}) = 1 + \cos t\). Par la formule, \(F_1(t) = \dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{\sin t}{\sin(t/2)}\Big)^2 = \dfrac{1}{2}(2\cos\tfrac{t}{2})^2 = 2\cos^2\tfrac{t}{2} = 1 + \cos t\) : les deux expressions concordent.

\(1 + \cos t \geq 0\) ; la moyenne \(\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1 + \cos t)\,dt = 1\).

\(\sigma_1 f(t) = \Big(1 - \dfrac{1}{2}\Big)\cdot 2\sin t = \sin t\).

15 Série de |sin t| ★★★

\(f\) est paire, \(\pi\)-périodique : \(b_n = 0\). \(a_0 = \dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin t\,dt = \dfrac{4}{\pi}\). Pour \(n \neq 1\), \(a_n = \dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin t\cos nt\,dt = \dfrac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\big[\sin(n+1)t - \sin(n-1)t\big]dt = \dfrac{1}{\pi}\Big[\dfrac{1 - (-1)^{n+1}}{n+1} - \dfrac{1 - (-1)^{n-1}}{n-1}\Big]\).

Si \(n\) est impair (\(\neq 1\)), \(a_n = 0\) ; \(a_1 = \dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin t\cos t\,dt = 0\). Si \(n = 2k\), \(a_{2k} = \dfrac{2}{\pi}\Big(\dfrac{1}{2k+1} - \dfrac{1}{2k-1}\Big) = \dfrac{-4}{\pi(4k^2 - 1)}\).

Donc \(|\sin t| = \dfrac{2}{\pi} - \dfrac{4}{\pi}\sum_{k\geq1}\dfrac{\cos 2kt}{4k^2 - 1}\) (convergence normale). En \(t = \dfrac{\pi}{2}\), \(\cos k\pi = (-1)^k\) : \(1 = \dfrac{2}{\pi} - \dfrac{4}{\pi}\sum\dfrac{(-1)^k}{4k^2-1}\), d’où \(\sum\dfrac{(-1)^k}{4k^2-1} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\pi}{4} \approx -0{,}285\).

16 Parseval et ζ(4) ★★★

\(\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2dt = \dfrac{2\pi^2}{3}\). Parseval : \(\dfrac{\pi^2}{2} + \dfrac{16}{\pi^2}\sum_{n\text{ impair}}\dfrac{1}{n^4} = \dfrac{2\pi^2}{3}\), donc \(\dfrac{16}{\pi^2}\sum = \dfrac{\pi^2}{6}\) et \(\sum_{n\text{ impair}}\dfrac{1}{n^4} = \dfrac{\pi^4}{96}\).

Soit \(Z = \sum_{n\geq1}\dfrac{1}{n^4}\). Les termes pairs valent \(\sum\dfrac{1}{(2m)^4} = \dfrac{Z}{16}\), donc \(Z = \dfrac{\pi^4}{96} + \dfrac{Z}{16}\) et \(Z = \dfrac{16}{15}\cdot\dfrac{\pi^4}{96} = \dfrac{\pi^4}{90}\).

17 Hauteur du premier pic de Gibbs ★★★

(a) \(S_{2m-1}'(t) = \dfrac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{m-1}\cos((2k+1)t)\). Or \(2\sin t\sum_{k=0}^{m-1}\cos((2k+1)t) = \sum\big[\sin((2k+2)t) - \sin(2kt)\big] = \sin 2mt\) (somme télescopique). Donc \(S_{2m-1}' = \dfrac{4}{\pi}\cdot\dfrac{\sin 2mt}{2\sin t} = \dfrac{2}{\pi}\dfrac{\sin 2mt}{\sin t}\).

(b) La dérivée s’annule d’abord en \(t = \dfrac{\pi}{2m} = \dfrac{\pi}{4}\) en passant de positive à négative : c’est un maximum. \(S_3\Big(\dfrac{\pi}{4}\Big) = \dfrac{4}{\pi}\Big(\dfrac{\sqrt2}{2} + \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\Big) = \dfrac{8\sqrt2}{3\pi} \approx 1{,}200\), supérieur à \(1{,}179\) (la valeur limite) et à \(1\) : le dépassement est déjà là.

18 Corde vibrante ★★★

Ici \(c = 2\) et vitesse nulle : \(u(x,t) = 2\cos(4t)\sin 2x + \cos(6t)\sin 3x\).

\(\cos 4t\) a pour période \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(\cos 6t\) pour période \(\dfrac{\pi}{3}\). Leur plus petit multiple commun est \(\pi\) (\(=2\cdot\dfrac{\pi}{2} = 3\cdot\dfrac{\pi}{3}\)) : \(u\) est \(\pi\)-périodique en \(t\).

\(u\Big(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{6}\Big) = 2\cos\dfrac{2\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{2} + \cos\pi\,\sin\dfrac{3\pi}{4} = 2\cdot\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)\cdot 1 - \dfrac{\sqrt2}{2} = -1 - \dfrac{\sqrt2}{2} \approx -1{,}707\).

19 La majoration du noyau de Fejér ★★★

On a \(F_N(s) = \dfrac{\sin^2\frac{(N+1)s}{2}}{(N+1)\sin^2\frac{s}{2}} \leq \dfrac{1}{(N+1)\sin^2\frac{s}{2}}\). Pour \(\dfrac{\delta}{2}\leq\dfrac{|s|}{2}\leq\dfrac{\pi}{2}\), \(|\sin|\) est croissante, donc \(\sin^2\dfrac{s}{2}\geq\sin^2\dfrac{\delta}{2}\), d’où la majoration annoncée.

Pour \(\delta = \dfrac{\pi}{2}\) : \(\sin^2\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{2}\) et \(F_{99}(s) \leq \dfrac{1}{100\times\frac12} = 0{,}02\). La partie de l’intégrale hors de \([-\delta, \delta]\) a une longueur \(\leq 2\pi\), donc \(\dfrac{1}{2\pi}\int_{\delta\leq|s|\leq\pi}F_{99} \leq \dfrac{1}{2\pi}\cdot 2\pi\cdot 0{,}02 = 0{,}02\) : la masse hors d’un voisinage de \(0\) devient négligeable.

20 Convergence normale pour une fonction C¹ ★★★

(a) Par intégration par parties (périodicité) : \(c_n(f') = in\,c_n(f)\).

(b) Parseval pour \(f'\) : \(\sum n^2|c_n(f)|^2 = \|f'\|_2^2 < +\infty\). Cauchy-Schwarz : \(\sum_{n\neq0}|c_n| = \sum_{n\neq0}\dfrac{1}{|n|}\cdot|n||c_n| \leq\Big(\sum_{n\neq0}\dfrac{1}{n^2}\Big)^{1/2}\Big(\sum n^2|c_n|^2\Big)^{1/2}\), fini.

(c) \(\sum_{n\neq0}\dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{3}\), donc \(\sum_{n\neq0}|c_n| \leq\sqrt{\dfrac{\pi^2}{3}\times3} = \pi\). La série de Fourier converge normalement vers \(f\).

21 Développement de cos(t/2) ★★★

\(f\) est paire donc \(b_n = 0\), continue, \(C^1\) par morceaux. \(a_0 = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos\dfrac{t}{2}dt = \dfrac{1}{\pi}\Big[2\sin\dfrac{t}{2}\Big]_{-\pi}^{\pi} = \dfrac{4}{\pi}\).

\(a_n = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos\dfrac{t}{2}\cos nt\,dt = \dfrac{1}{\pi}\Big[\dfrac{\sin(n+\frac12)\pi}{n+\frac12} + \dfrac{\sin(n-\frac12)\pi}{n-\frac12}\Big]\) avec \(\sin(n+\tfrac12)\pi = (-1)^n\) et \(\sin(n-\tfrac12)\pi = (-1)^{n+1}\). Donc \(a_n = \dfrac{(-1)^n}{\pi}\Big(\dfrac{1}{n+\frac12} - \dfrac{1}{n-\frac12}\Big) = \dfrac{4(-1)^{n+1}}{\pi(4n^2-1)}\).

En \(t = \pi\) : \(\cos\dfrac{\pi}{2} = 0 = \dfrac{2}{\pi} + \dfrac{4}{\pi}\sum\dfrac{(-1)^{n+1}(-1)^n}{4n^2-1} = \dfrac{2}{\pi} - \dfrac{4}{\pi}\sum\dfrac{1}{4n^2-1}\). Donc \(\sum\dfrac{1}{4n^2-1} = \dfrac{1}{2}\) (on le vérifie par télescopage de \(\dfrac12\Big(\dfrac{1}{2n-1} - \dfrac{1}{2n+1}\Big)\)).