21 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
1 Périodes et séries de Fourier ★★★
Montrer que \(f(t) = \cos 2t + \sin 3t\) est \(2\pi\)-périodique. La fonction \(g(t) = \cos\dfrac{t}{2}\) est-elle \(2\pi\)-périodique ?
2 Parité et coefficients nuls ★★★
Pour chacune des fonctions \(2\pi\)-périodiques définies sur \(]-\pi, \pi[\) par \(f_1(t) = t^3\), \(f_2(t) = t\sin t\), \(f_3(t) = t + t^2\), dire quels coefficients de Fourier sont nuls.
3 Polynôme trigonométrique ★★★
Soit \(f(t) = 3 + 2\cos t - 4\sin 2t\). Donner \(a_n\), \(b_n\) puis les \(c_n\) pour tout \(n\).
4 Un signal 0 – 1 ★★★
Soit \(f\) \(2\pi\)-périodique, valant \(0\) sur \(]-\pi, 0[\) et \(1\) sur \(]0, \pi[\). Calculer \(a_0\), \(a_n\) puis \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\).
5 Parseval pour un polynôme trigonométrique ★★★
Calculer \(\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\big(3 + 2\cos t - 4\sin 2t\big)^2dt\) sans primitive, avec la formule de Parseval.
6 Valeur de la somme en un point ★★★
Soit \(f\) \(2\pi\)-périodique avec \(f(t) = t\) sur \(]-\pi, \pi[\). Quelle est la somme de sa série de Fourier en \(t = \dfrac{\pi}{2}\), en \(t = \pi\), en \(t = \dfrac{3\pi}{2}\) ?
7 Vrai ou faux ? ★★★
Justifier : (a) si \(f\) est paire, \(b_n = 0\) pour tout \(n\) ; (b) la série de Fourier de toute fonction continue \(2\pi\)-périodique converge simplement vers elle ; (c) si \(f\) est continue par morceaux, \(c_n \to 0\) quand \(|n| \to +\infty\) ; (d) si \(f\) est impaire, \(a_0 = 0\).
8 Fourier de la parabole ★★★
Soit \(f(t) = t^2\) sur \(]-\pi, \pi[\), prolongée par périodicité. Calculer ses coefficients, puis en déduire \(\displaystyle\sum_{n\geq 1}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2}\).
9 Période 2 ★★★
Soit \(f\) de période \(2\) telle que \(f(x) = x\) sur \(]-1, 1[\). Avec \(L = 1\), donner \(b_n = \int_{-1}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,dx\) et la somme de la série en \(x = \dfrac{1}{2}\).
10 Énergie captée par S₃ ★★★
Pour le créneau \(g\) (\(\pm 1\)), calculer \(b_1^2 + b_3^2\) et la proportion de \(\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g^2\) qu’elle représente. Conclusion avec Bessel ?
11 Moyenne de Cesàro de la rampe ★★★
Pour \(f(t) = t\), calculer \(\sigma_2 f\), puis comparer \(S_2 f\) et \(\sigma_2 f\) à \(f\) en \(t = \dfrac{\pi}{2}\).
12 Chaleur dans une barre ★★★
Une barre de longueur \(\pi\) est régie par \(\partial_t u = \dfrac{1}{4}\partial_{xx}u\), avec \(u(0,t) = u(\pi,t) = 0\) et \(u(x,0) = 3\sin x + 5\sin 4x\). Donner \(u(x,t)\), calculer \(u\Big(\dfrac{\pi}{2}, 1\Big)\) et le temps à partir duquel l’amplitude du mode en \(\sin 4x\) devient inférieure à \(0{,}01\).
13 Leibniz par Dirichlet ★★★
On rappelle que le signal 0 – 1 (exercice « Un signal 0 – 1 ») vérifie \(f(t) \sim \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{\pi}\sum_{k\geq 0}\dfrac{\sin((2k+1)t)}{2k+1}\). Quelle est la somme de la série en \(t = 0\) ? Retrouver \(\displaystyle\sum_{k\geq0}\dfrac{(-1)^k}{2k+1}\).
14 Le noyau de Fejér F₁ ★★★
Montrer que \(F_1(t) = 1 + \cos t\), qu’il est positif et de moyenne \(1\), et calculer \(\sigma_1 f\) pour \(f(t) = t\).
15 Série de |sin t| ★★★
Calculer les coefficients de Fourier de \(f(t) = |\sin t|\), puis en déduire \(\displaystyle\sum_{k\geq 1}\dfrac{(-1)^k}{4k^2 - 1}\).
16 Parseval et ζ(4) ★★★
Les coefficients de \(f(t) = |t|\) sont \(a_0 = \pi\), \(a_n = \dfrac{-4}{\pi n^2}\) si \(n\) est impair, \(0\) sinon (\(n\geq 1\)). Utiliser Parseval pour calculer \(\displaystyle\sum_{n \text{ impair}}\dfrac{1}{n^4}\), puis \(\displaystyle\sum_{n\geq 1}\dfrac{1}{n^4}\).
17 Hauteur du premier pic de Gibbs ★★★
Soit \(S_{2m-1}(t) = \dfrac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{m-1}\dfrac{\sin((2k+1)t)}{2k+1}\) la somme partielle du créneau. (a) Montrer que \(S_{2m-1}'(t) = \dfrac{2}{\pi}\dfrac{\sin 2mt}{\sin t}\). (b) Pour \(m = 2\), calculer \(S_3\Big(\dfrac{\pi}{4}\Big)\) et comparer à \(1{,}179\).
18 Corde vibrante ★★★
Une corde de longueur \(\pi\), fixée aux deux extrémités, vérifie \(\partial_{tt}u = 4\partial_{xx}u\), avec \(u(x,0) = 2\sin 2x + \sin 3x\) et \(\partial_t u(x,0) = 0\). Donner \(u\), sa période en \(t\), et \(u\Big(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{6}\Big)\).
19 La majoration du noyau de Fejér ★★★
Montrer que, pour \(0 < \delta \leq |s| \leq \pi\), \(F_N(s) \leq \dfrac{1}{(N+1)\sin^2(\delta/2)}\). Pour \(\delta = \dfrac{\pi}{2}\) et \(N = 99\), donner la borne numérique et en déduire une majoration de \(\dfrac{1}{2\pi}\int_{\delta\leq|s|\leq\pi}F_N(s)\,ds\).
20 Convergence normale pour une fonction C¹ ★★★
Soit \(f\) \(2\pi\)-périodique de classe \(C^1\). (a) Relier \(c_n(f')\) à \(c_n(f)\). (b) Avec Parseval et Cauchy-Schwarz, montrer \(\sum_{n\neq0}|c_n(f)| < +\infty\). (c) Si \(\dfrac{1}{2\pi}\int|f'|^2 = 3\), majorer \(\sum_{n\neq0}|c_n(f)|\).
21 Développement de cos(t/2) ★★★
Soit \(f\) \(2\pi\)-périodique avec \(f(t) = \cos\dfrac{t}{2}\) sur \(]-\pi, \pi]\). Calculer \(a_0\) et \(a_n\), en déduire \(\displaystyle\sum_{n\geq1}\dfrac{1}{4n^2 - 1}\) avec \(t = \pi\).
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