1 Tribus et mesures / 3 pts
Soit \(X=\{a,b,c,d,e\}\). (a) Déterminer la tribu \(\mathcal{A}\) engendrée par \(\{\{a\},\{b,c\}\}\) : donner ses « atomes » et son nombre d’éléments. (b) Soit \(\mu=4\delta_a+\delta_b+3\delta_e\). Calculer \(\mu(\{b,c\})\), \(\mu(\{d,e\})\) et \(\mu(X)\).
2 Mesure de Lebesgue et ensembles de Cantor / 4 pts
Soit \(K_0=[0,1]\). À chaque étape, on retire de chaque intervalle son cinquième central ouvert (de longueur le cinquième de celle de l’intervalle). (a) Calculer \(\lambda(K_n)\) puis la mesure de \(K=\bigcap K_n\). (b) Calculer \(\lambda(K_3)\). (c) Calculer \(\lambda([0,3]\setminus\mathbb{Z})\).
3 Intégrale et ensembles négligeables / 4 pts
(a) Calculer \(\int f\,d\lambda\) pour \(f=3\cdot\mathbf{1}_{[0,2]}-\mathbf{1}_{]2,5]}\). (b) Soit \(g=f\) sur \([0,5]\setminus\mathbb{Q}\) et \(g=10\) sur \(\mathbb{Q}\cap[0,5]\). Justifier que \(g\) est mesurable et calculer \(\int g\,d\lambda\).
4 Convergence monotone / 4 pts
On pose \(f_n(x)=x^{-1/4}\mathbf{1}_{[1/n,1]}(x)\) sur \(]0,1]\). (a) Montrer que \((f_n)\) est croissante et déterminer sa limite. (b) Calculer \(\int f_n\,d\lambda\). (c) En déduire \(\int_{]0,1]}x^{-1/4}d\lambda\).
5 Convergence dominée / 3 pts
Déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^{+\infty}e^{-3x}\Big(1+\frac xn\Big)^ndx\) en précisant la fonction dominante.
6 Lemme de Fatou / 2 pts
Soit \(f_n=\mathbf{1}_{[n,n+2]}\). Calculer \(\int f_n\) et \(\int\liminf f_n\), puis conclure sur l’inégalité de Fatou et sur la convergence dominée.
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