Corrigés rédigés des exercices du chapitre. Vérifie chaque étape, puis corrige-toi.
1 Mesures d’intervalles ★★★
Les deux intervalles sont disjoints, donc par additivité \(\lambda([2,5]\cup]7,9[)=3+2=5\). Les singletons sont de mesure nulle : \(\lambda(\{1,2,3\})=0\). Enfin \(\mathbb{N}\) est dénombrable, donc \(\lambda(\mathbb{N})=0\).
2 Tribu engendrée ★★★
La tribu doit contenir \(\emptyset\), \(X\), \(A\) et le complémentaire \(A^c=\{3,4\}\). Cette famille \(\{\emptyset,\{1,2\},\{3,4\},X\}\) est stable par complémentaire et réunion, c’est donc la plus petite tribu cherchée : elle a 4 éléments.
3 Combinaison de mesures de Dirac ★★★
\(\mu(A)=3\,\mathbf{1}_A(1)+2\,\mathbf{1}_A(4)\). On obtient \(\mu([0,2])=3\) (seul 1 y est), \(\mu([1,4])=3+2=5\), \(\mu(]1,4[)=0\) (ni 1 ni 4) et \(\mu(\mathbb{R})=5\).
4 Intégrale d’une fonction étagée ★★★
\(\int f\,d\lambda=2\lambda([0,1[)+5\lambda([1,4[)+3\lambda([4,6])=2\times1+5\times3+3\times2=2+15+6=23\).
5 Rationnels et intégrale ★★★
\(\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\) est étagée et \(\int\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}=\lambda(\mathbb{Q}\cap[0,1])=0\). Par linéarité, \(\int(x+\mathbf{1}_{\mathbb{Q}})=\int_0^1x\,dx+0=\tfrac12\).
6 Égalité presque partout ★★★
L’ensemble \(\{0,\tfrac12,\tfrac13\}\) est fini donc négligeable : \(f=x^2\) presque partout. Ainsi \(\int_{[0,1]}f\,d\lambda=\int_0^1x^2dx=\tfrac13\).
7 Vrai ou faux ? ★★★
(a) Vrai : sous-additivité, \(\lambda(\bigcup N_k)\le\sum 0=0\). (b) Vrai : les deux bornes sont des singletons de mesure nulle. (c) Faux : \(x^{-1/2}\) est intégrable sur \(]0,1]\) (intégrale 2) mais non bornée.
8 Continuité des mesures ★★★
(a) La suite est croissante, de réunion \([0,1[\) ; \(\lambda([0,1[)=1\) et \(\lambda(A_n)=1-\tfrac1n\to1\) : égalité. (b) Suite décroissante, \(\bigcap B_n=\emptyset\) donc \(\lambda(\bigcap B_n)=0\), alors que \(\lambda(B_n)=+\infty\) pour tout \(n\) : les deux valeurs diffèrent. L’hypothèse \(\mu(B_0)<+\infty\) de la propriété (iv) est indispensable.
9 Un ouvert dense de petite mesure ★★★
Le \(k\)-ième intervalle a pour longueur \(\varepsilon/2^k\). Par sous-additivité, \(\lambda(O)\le\sum_{k\ge1}\varepsilon/2^k=\varepsilon=0{,}1\). Chaque \(q_k\) est le centre de son intervalle, donc \(O\supset\mathbb{Q}\cap[0,1]\) : \(O\) est dense dans \([0,1]\). Enfin \(\lambda([0,1]\setminus O)\ge1-0{,}1=0{,}9>0\) : ce fermé relatif est donc de mesure strictement positive, et il ne contient aucun intervalle.
10 Fonction partie entière ★★★
Sur \([0,3[\), \(\lfloor x\rfloor=0\cdot\mathbf{1}_{[0,1[}+1\cdot\mathbf{1}_{[1,2[}+2\cdot\mathbf{1}_{[2,3[}\) : c’est une fonction étagée, donc mesurable. Son intégrale vaut \(0\times1+1\times1+2\times1=3\).
11 Convergence monotone et puissance ★★★
La suite \((f_n)\) est positive, croissante, de limite \(x^{-1/3}\) sur \(]0,1]\). On a \(\int f_n=\int_{1/n}^1x^{-1/3}dx=\tfrac32\big(1-n^{-2/3}\big)\to\tfrac32\). Par convergence monotone, \(\int_{]0,1]}x^{-1/3}\,d\lambda=\tfrac32\).
12 Intégration terme à terme d’une série ★★★
Pour \(x>0\), \(\dfrac{x}{e^x-1}=\dfrac{xe^{-x}}{1-e^{-x}}=\sum_{n\ge1}xe^{-nx}\). Les termes sont positifs : la convergence monotone (version série) autorise l’échange. Or \(\int_0^{+\infty}xe^{-nx}dx=\dfrac1{n^2}\) (intégration par parties). Donc l’intégrale vaut \(\sum_{n\ge1}n^{-2}=\dfrac{\pi^2}{6}\approx1{,}645\).
13 Limite d’une intégrale sur [0,1] ★★★
Pour \(x\in[0,1]\), \(\big(1+\tfrac xn\big)^n\to e^x\). Domination : \(1+t\le e^t\) donne \(\big(1+\tfrac xn\big)^n\le e^x\le e\), constante intégrable sur \([0,1]\). Par convergence dominée, la limite vaut \(\int_0^1e^xdx=e-1\).
14 Fatou et masse qui s’échappe ★★★
\(\int f_n=1\). Pour tout \(x\), \(f_n(x)=0\) dès que \(n>x\) : \(\liminf f_n=0\), d’intégrale 0. Fatou donne \(0\le1\), inégalité stricte. Une domination \(g\ge f_n\) imposerait \(g\ge\mathbf{1}_{[1,+\infty[}\), dont l’intégrale est infinie : pas de fonction dominante intégrable, le théorème ne s’applique pas.
15 Convergence dominée avec un sinus ★★★
Pour \(x>0\), \(\dfrac{n\sin(x/n)}{x}\to1\) (limite de \(\sin t/t\) en 0 avec \(t=x/n\)). Domination : \(|\sin t|\le|t|\) donne \(\Big|\dfrac{n\sin(x/n)}{x}\Big|\le1\), donc l’intégrande est majoré par \(g(x)=\dfrac1{1+x^2}\), intégrable sur \(]0,+\infty[\) (intégrale \(\pi/2\)). La limite vaut \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\frac\pi2\).
16 La limite de (1 − x/n)^n ★★★
Pour \(x\) fixé, \(f_n(x)\to e^{-x}\). Pour \(0\le x\le n\), \(0\le1-\tfrac xn\le e^{-x/n}\) donc \(0\le f_n(x)\le e^{-x}\), intégrable d’intégrale 1. Conclusion : \(\int f_n\to\int_0^{+\infty}e^{-x}dx=1\). Vérification : \(\int_0^n(1-\tfrac xn)^ndx=\dfrac{n}{n+1}\to1\).
17 Pas de domination possible ★★★
Sur \(]\tfrac1{k+1},\tfrac1k[\), \(f_n(x)=n\) si \(n<1/x\), c’est-à-dire pour \(n\le k\) : \(\sup_nf_n=k\) presque partout sur cet intervalle. Donc \(\int\sup_nf_n\ge\sum_{k\ge1}k\Big(\tfrac1k-\tfrac1{k+1}\Big)=\sum_{k\ge1}\tfrac1{k+1}=+\infty\). Toute fonction dominante serait \(\ge\sup_nf_n\), donc non intégrable : le théorème ne s’applique pas, et d’ailleurs \(\int f_n=1\not\to0\).
18 Un ensemble de Cantor de mesure positive ★★★
La mesure retirée est \(\sum_{n\ge1}2^{n-1}4^{-n}=\sum_{n\ge1}2^{-n-1}=\tfrac12\). Comme \(K=[0,1]\setminus\bigcup\text{(intervalles retirés)}\), \(\lambda(K)=1-\tfrac12=\tfrac12>0\). \(K\) ne contient aucun intervalle : à chaque étape on retire un morceau au milieu de chaque intervalle restant, dont les longueurs tendent vers 0. C’est un fermé de mesure positive d’intérieur vide.
19 Fatou et suites bornées en intégrale ★★★
Presque partout, \(f=\lim f_n=\liminf f_n\). Le lemme de Fatou donne \(\int f\le\liminf\int f_n\le M\). Application : \(\int_0^1(n+1)x^ndx=1=M\), et \(f_n(x)\to0\) pour \(x<1\), donc \(f=0\) presque partout et \(\int f=0\le1\). Ici l’inégalité est stricte, il n’y a pas convergence des intégrales.
20 Mesure à densité ★★★
\(\nu(\emptyset)=0\). Si \(A=\bigsqcup A_k\), alors \(\mathbf{1}_A\,2x=\sum_k\mathbf{1}_{A_k}2x\) avec des termes positifs, et la convergence monotone (version série) donne \(\nu(A)=\sum_k\nu(A_k)\) : \(\nu\) est \(\sigma\)-additive. Valeurs : \(\nu([0,1])=\int_0^12x\,dx=1\) ; \(\nu([0,\tfrac12])=\tfrac14\) ; \(\nu(\{x\})=0\) car \(\lambda(\{x\})=0\). \(\nu\) est une mesure de probabilité.
21 Riemann impropre et Lebesgue ★★★
Sur \([k\pi,(k+1)\pi]\), \(\dfrac1x\ge\dfrac1{(k+1)\pi}\) et \(\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin x|dx=2\), donc \(\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\dfrac{|\sin x|}{x}dx\ge\dfrac2{(k+1)\pi}\). En sommant sur \(k\), la série harmonique diverge : \(\int_{]0,+\infty[}\Big|\dfrac{\sin x}{x}\Big|d\lambda=+\infty\). La fonction n’est pas Lebesgue-intégrable, bien que l’intégrale impropre converge (par oscillations).
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