Intégrales à paramètres et Fubini : exercices corrigés de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Dériver une intégrale polynomiale ★★★

\(F(x)=x\int_0^1 t\,dt+\int_0^1 t^2\,dt=\dfrac{x}{2}+\dfrac13\), donc \(F'(x)=\dfrac12\).

D’autre part \(\dfrac{\partial}{\partial x}(xt+t^2)=t\) et \(\int_0^1 t\,dt=\dfrac12\). Les deux résultats coïncident, comme l’assure le théorème de dérivation (la dérivée partielle est bornée par \(1\), fonction intégrable sur \([0,1]\)).

2 Fubini sur un rectangle ★★★

La fonction est continue sur un compact : elle est intégrable et Fubini s’applique. Comme l’intégrande est un produit, \(I=\Big(\int_0^1 3x^2\,dx\Big)\Big(\int_0^2 y\,dy\Big)=1\times 2=2\).

Réponse : \(I=2\).

3 Premières valeurs de Gamma ★★★

\(\Gamma(n+1)=n!\) : \(\Gamma(4)=3!=6\) et \(\Gamma(6)=5!=120\).

Avec \(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\) et \(\Gamma(\tfrac12)=\sqrt\pi\) : \(\Gamma(\tfrac32)=\tfrac12\sqrt\pi\) et \(\Gamma(\tfrac52)=\tfrac32\Gamma(\tfrac32)=\tfrac{3\sqrt\pi}{4}\).

4 Mesures de produits ★★★

On utilise \((\lambda\otimes\lambda)(A\times B)=\lambda(A)\lambda(B)\).

1. \(3\times 4=12\).
2. \(\lambda([0,2]\cup[5,6])=2+1=3\) (union disjointe) et \(\lambda([-1,1])=2\) : mesure \(6\).
3. \(\lambda(\{0\})=0\), donc la mesure vaut \(0\times 10=0\).

5 Intégrales en exponentielle ★★★

Le changement \(u=at\) donne \(\int_0^{+\infty}t^{k}e^{-at}\,dt=\dfrac{\Gamma(k+1)}{a^{k+1}}\).

Pour \(k=1\), \(a=3\) : \(\dfrac{\Gamma(2)}{3^2}=\dfrac19\). Pour \(k=3\), \(a=2\) : \(\dfrac{\Gamma(4)}{2^4}=\dfrac{6}{16}=\dfrac38\).

6 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : c’est le théorème de Tonelli, qui ne demande que positivité et mesurabilité.
2. Faux : \(\int_0^{1}t^{-1}e^{-t}\,dt\) diverge (l’intégrande est équivalent à \(1/t\) en \(0\)), donc \(\Gamma(0)\) n’existe pas.
3. Vrai : l’intégrande \(t^{x-1}e^{-t}\) est strictement positif sur \(]0,+\infty[\), donc son intégrale est strictement positive.

7 Aire d’un disque en polaires ★★★

Avec \(dx\,dy=r\,dr\,d\theta\) : aire \(=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^3 r\,dr\,d\theta=2\pi\times\dfrac{3^2}{2}=9\pi\).

On retrouve \(\pi R^2\) avec \(R=3\).

8 Continuité et dérivabilité ★★★

1. Pour tout \(x\) et tout \(t\ge0\), \(|e^{-t}\cos(xt)|\le e^{-t}\), intégrable sur \([0,+\infty[\). Pour tout \(t\), \(x\mapsto e^{-t}\cos(xt)\) est continue. Par le théorème de continuité, \(F\) est continue.
2. \(\dfrac{\partial}{\partial x}\big(e^{-t}\cos(xt)\big)=-t\,e^{-t}\sin(xt)\), de valeur absolue \(\le t\,e^{-t}\), intégrable (\(\int_0^{+\infty}te^{-t}dt=\Gamma(2)=1\)). Donc \(F\in C^1\) et \(F'(x)=-\int_0^{+\infty}t\,e^{-t}\sin(xt)\,dt\).
3. \(F(0)=\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=1\) et, puisque \(\sin 0=0\), \(F'(0)=0\).

9 Inverser deux intégrales ★★★

Le domaine est \(D=\{0\le y\le x\le1\}\) ; l’intégrande est continue et bornée sur ce compact, donc intégrable. Par Fubini, \(I=\int_0^1\cos(x^2)\Big(\int_0^x dy\Big)dx=\int_0^1x\cos(x^2)\,dx=\Big[\tfrac12\sin(x^2)\Big]_0^1=\dfrac{\sin1}{2}\).

\(\sin 1\approx0{,}8415\), donc \(I\approx0{,}421\).

10 Un triangle ★★★

Par Fubini : \(\int_0^1\Big(\int_0^y(x+y)\,dx\Big)dy=\int_0^1\Big(\dfrac{y^2}{2}+y^2\Big)dy=\int_0^1\dfrac{3y^2}{2}\,dy=\dfrac12\).

Vérification : sur le carré, \(\iint(x+y)=\tfrac12+\tfrac12=1\). Les triangles \(\{x\le y\}\) et \(\{x\ge y\}\) sont échangés par la symétrie \((x,y)\mapsto(y,x)\), qui laisse \(x+y\) invariant : chacun contribue pour la moitié, soit \(\dfrac12\).

11 Gamma et substitutions ★★★

1. \(\int_0^{+\infty}t^{3/2-1}e^{-t}dt=\Gamma(\tfrac32)=\dfrac{\sqrt\pi}{2}\).
2. Avec \(t=u^2\), \(du=\dfrac{dt}{2\sqrt t}\) et \(u^4=t^2\) : \(\int_0^{+\infty}u^4e^{-u^2}du=\dfrac12\int_0^{+\infty}t^{3/2}e^{-t}dt=\dfrac12\Gamma(\tfrac52)=\dfrac12\cdot\dfrac{3\sqrt\pi}{4}=\dfrac{3\sqrt\pi}{8}\).

12 Quart de disque ★★★

En polaires, \(D\) devient \(r\in[0,1]\), \(\theta\in[0,\tfrac\pi2]\) et \(xy=r^2\cos\theta\sin\theta\) : \[\iint_D xy=\int_0^1r^3dr\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=\dfrac14\times\dfrac12=\dfrac18.\]

En cartésiennes : \(\int_0^1x\Big(\int_0^{\sqrt{1-x^2}}y\,dy\Big)dx=\int_0^1\dfrac{x(1-x^2)}{2}\,dx=\dfrac12\Big(\dfrac12-\dfrac14\Big)=\dfrac18\). Les deux méthodes concordent.

13 Quand la domination échoue ★★★

Si \(x>0\) : \(F(x)=\big[-e^{-xt}\big]_0^{+\infty}=1\). Si \(x=0\) : l’intégrande est nul, donc \(F(0)=0\). Ainsi \(F\) n’est pas continue en \(0\).

L’hypothèse de domination est en défaut : pour \(t>0\) fixé, \(\sup_{x\ge0}xe^{-xt}\) est atteint en \(x=\tfrac1t\) et vaut \(\dfrac{1}{et}\). Toute majorante \(g\) valable pour tous les \(x\) vérifie \(g(t)\ge\dfrac1{et}\), non intégrable sur \(]0,+\infty[\).

14 Espérance du minimum ★★★

\(E[\min(X,Y)]=\iint_{[0,1]^2}\min(x,y)\,dx\,dy=2\int_0^1\Big(\int_0^yx\,dx\Big)dy=2\int_0^1\dfrac{y^2}{2}\,dy=\dfrac13\) (par symétrie, la zone \(x\le y\) compte pour la moitié).

Comme \(\min+\max=X+Y\), \(E[\max]=E[X]+E[Y]-E[\min]=\dfrac12+\dfrac12-\dfrac13=\dfrac23\).

15 Un contre-exemple à Fubini ★★★

(a) On vérifie que \(\dfrac{d}{dy}\Big(\dfrac{y}{x^2+y^2}\Big)=\dfrac{x^2+y^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2}=f(x,y)\). Donc \(\int_0^1f(x,y)\,dy=\dfrac{1}{x^2+1}\) et \(\int_0^1\dfrac{dx}{1+x^2}=\dfrac\pi4\).

(b) \(f(y,x)=-f(x,y)\), donc l’autre ordre donne \(-\dfrac\pi4\).

(c) Si \(f\) était intégrable sur \(]0,1]^2\), le théorème de Fubini imposerait l’égalité des deux intégrales itérées. Elles sont différentes : \(f\) n’est pas intégrable sur le carré.

16 L’intégrale de Gauss ★★★

Soit \(G=\int_{\mathbb R}e^{-x^2}dx\), finie car \(e^{-x^2}\le e^{-|x|+1}\) pour tout \(x\). Par Tonelli, \(G^2=\iint_{\mathbb R^2}e^{-(x^2+y^2)}dx\,dy\). En polaires (jacobien \(r\)) : \(G^2=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{+\infty}re^{-r^2}dr\,d\theta=2\pi\cdot\dfrac12=\pi\). Comme \(G>0\), \(G=\sqrt\pi\).

Pour la seconde, \(x=\sqrt2\,u\) donne \(\int_{\mathbb R}e^{-x^2/2}dx=\sqrt2\int_{\mathbb R}e^{-u^2}du=\sqrt{2\pi}\).

17 Gamma : continuité et factorielle ★★★

(a) Pour \(t\in]0,1]\) et \(x\ge a\), \(t^{x-1}\le t^{a-1}\) ; pour \(t\ge1\) et \(x\le b\), \(t^{x-1}\le t^{b-1}\). Posons \(g(t)=t^{a-1}\) sur \(]0,1]\) et \(g(t)=t^{b-1}e^{-t}\) sur \([1,+\infty[\). Alors \(\int_0^1t^{a-1}dt=\dfrac1a<+\infty\) et \(\int_1^{+\infty}t^{b-1}e^{-t}dt\le\Gamma(b)<+\infty\). La fonction \(g\) est intégrable, \(x\mapsto t^{x-1}e^{-t}\) est continue : \(\Gamma\) est continue sur \([a,b]\), donc sur \(]0,+\infty[\).

(b) Intégration par parties : \(\Gamma(x+1)=\big[-t^xe^{-t}\big]_0^{+\infty}+x\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt=x\Gamma(x)\) (le crochet est nul car \(x>0\)). Comme \(\Gamma(1)=\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=1\), une récurrence immédiate donne \(\Gamma(n+1)=n\cdot\Gamma(n)=\dots=n!\).

18 Une équation différentielle par dérivation ★★★

(a) \(\left|\dfrac{\partial}{\partial x}\big(e^{-t^2}\cos(xt)\big)\right|=|t\,e^{-t^2}\sin(xt)|\le t\,e^{-t^2}\), intégrable sur \([0,+\infty[\). Donc \(F\in C^1\) et \(F'(x)=-\int_0^{+\infty}t\,e^{-t^2}\sin(xt)\,dt\).

(b) On pose \(u=\sin(xt)\), \(v'=te^{-t^2}\), \(v=-\tfrac12e^{-t^2}\). Alors \(\int_0^{+\infty}te^{-t^2}\sin(xt)dt=\Big[-\tfrac12e^{-t^2}\sin(xt)\Big]_0^{+\infty}+\dfrac x2\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\cos(xt)dt=\dfrac x2F(x)\). Donc \(F'(x)=-\dfrac x2F(x)\).

(c) La solution de cette équation linéaire est \(F(x)=F(0)e^{-x^2/4}\) avec \(F(0)=\dfrac{\sqrt\pi}{2}\) : \(F(x)=\dfrac{\sqrt\pi}{2}\,e^{-x^2/4}\).

19 Volume d’une boule par tranches ★★★

La boule est \(B=\{x^2+y^2+z^2\le4\}\). Par Tonelli, \(\lambda_3(B)=\int_{-2}^{2}\lambda_2(S_z)\,dz\), où la section \(S_z\) est le disque de rayon \(\sqrt{4-z^2}\), d’aire \(\pi(4-z^2)\).

\(\lambda_3(B)=\pi\int_{-2}^2(4-z^2)\,dz=\pi\Big[4z-\dfrac{z^3}{3}\Big]_{-2}^{2}=\pi\Big(16-\dfrac{16}{3}\Big)=\dfrac{32\pi}{3}\), ce qui est bien \(\dfrac43\pi R^3\) pour \(R=2\).

20 La fonction Bêta ★★★

(a) Directement : \(B(2,3)=\int_0^1t(1-t)^2dt=\int_0^1(t-2t^2+t^3)dt=\dfrac12-\dfrac23+\dfrac14=\dfrac1{12}\). Par la formule : \(\dfrac{\Gamma(2)\Gamma(3)}{\Gamma(5)}=\dfrac{1\times2}{24}=\dfrac1{12}\). Les deux valeurs coïncident.

(b) Par la formule : \(B(\tfrac12,\tfrac12)=\dfrac{\Gamma(\frac12)^2}{\Gamma(1)}=\pi\). Directement, \(t=\sin^2\theta\), \(dt=2\sin\theta\cos\theta\,d\theta\) et \(\sqrt{t(1-t)}=\sin\theta\cos\theta\) sur \([0,\tfrac\pi2]\) : \(B(\tfrac12,\tfrac12)=\int_0^{\pi/2}2\,d\theta=\pi\).

21 Convolution de deux indicatrices ★★★

(a) \(f(t)f(x-t)=1\) si et seulement si \(t\in[0,1]\cap[x-1,x]\). Cet intervalle est de longueur \(x\) si \(0\le x\le1\), de longueur \(2-x\) si \(1\le x\le2\), et vide sinon : \((f*f)(x)=x\) sur \([0,1]\), \(2-x\) sur \([1,2]\), \(0\) ailleurs (graphe triangulaire).

(b) \(f*f\ge0\) : par Tonelli, \(\int(f*f)(x)\,dx=\int f(t)\Big(\int f(x-t)\,dx\Big)dt=\int f(t)\cdot 1\,dt=1\). Vérification : l’aire du triangle de base \(2\) et de hauteur \(1\) vaut \(1\).

22 Une série d’intégrales ★★★

Pour \(x\in]0,1[\), \(\dfrac1{1-x}=\sum_{n\ge0}x^n\) et \(-\ln x>0\) : tous les termes \(x^n(-\ln x)\) sont positifs. Le théorème de Tonelli (pour la mesure de comptage et la mesure de Lebesgue) permet d’échanger somme et intégrale sans condition : \(\int_0^1\dfrac{-\ln x}{1-x}dx=\sum_{n\ge0}\int_0^1x^n(-\ln x)\,dx\).

Par intégration par parties (\(u=-\ln x\), \(v=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)) : \(\int_0^1x^n(-\ln x)\,dx=\Big[-\dfrac{x^{n+1}\ln x}{n+1}\Big]_0^1+\dfrac1{n+1}\int_0^1x^ndx=\dfrac1{(n+1)^2}\). En sommant sur \(n\ge0\) : \(\sum_{m\ge1}\dfrac1{m^2}=\dfrac{\pi^2}{6}\).