Intégrales à paramètres et Fubini : cours de maths Licence L3

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Cours de maths en Licence L3 : Intégrales à paramètres et Fubini — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Calculer une aire par tranches, étudier une fonction définie par une intégrale, passer de coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires : trois gestes qui reposent sur un même socle, la théorie de l’intégration de Lebesgue. Ce chapitre rassemble les théorèmes d’échange (limite, dérivée, intégrale double) et en tire des résultats spectaculaires, comme la valeur de \(\int_{\mathbb R} e^{-x^2}\,dx\) ou les propriétés de la fonction \(\Gamma\).

Sommaire

1. Intégrale dépendant d’un paramètre

Intégrale à paramètre

Soit \((\Omega,\mathcal A,\mu)\) un espace mesuré, \(I\) un intervalle de \(\mathbb R\) et \(f : I\times\Omega\to\mathbb R\) telle que, pour tout \(x\in I\), la fonction \(t\mapsto f(x,t)\) soit intégrable. On définit \[ F(x)=\int_\Omega f(x,t)\,d\mu(t),\qquad x\in I. \]

Les questions naturelles sont : la fonction \(F\) est-elle continue ? dérivable ? Peut-on écrire \(\lim_{x\to x_0}\int f(x,t)\,d\mu=\int \lim_{x\to x_0} f(x,t)\,d\mu\) ? Ces échanges sont faux en général ; le théorème de convergence dominée donne une condition suffisante efficace, la domination.

2. Continuité sous l’intégrale

Théorème de continuité

Soit \(f : I\times\Omega\to\mathbb R\). On suppose :

pour tout \(x\in I\), \(t\mapsto f(x,t)\) est mesurable ;
pour presque tout \(t\), \(x\mapsto f(x,t)\) est continue sur \(I\) ;
il existe \(g\) intégrable sur \(\Omega\) telle que \(|f(x,t)|\le g(t)\) pour tout \(x\in I\) et presque tout \(t\).

Alors \(F(x)=\int f(x,t)\,d\mu(t)\) est définie et continue sur \(I\).

La preuve consiste à appliquer le théorème de convergence dominée à une suite quelconque \(x_n\to x_0\) : \(f(x_n,t)\to f(x_0,t)\) presque partout, et \(|f(x_n,t)|\le g(t)\). Si la domination n’est vraie que sur chaque segment \([a,b]\subset I\), la continuité reste vraie, car elle est locale.

Exemple 1 : une intégrale oscillante

Soit \(F(x)=\int_0^{+\infty} e^{-t}\cos(xt)\,dt\) pour \(x\in\mathbb R\). Pour tout \(x\), \(|e^{-t}\cos(xt)|\le e^{-t}\) et \(t\mapsto e^{-t}\) est intégrable sur \([0,+\infty[\) d’intégrale \(1\). La fonction \(x\mapsto e^{-t}\cos(xt)\) est continue : d’après le théorème, \(F\) est définie et continue sur \(\mathbb R\), et \(F(0)=1\).

3. Dérivation sous l’intégrale

Théorème de dérivation (règle de Leibniz)

On suppose que :

pour tout \(x\in I\), \(t\mapsto f(x,t)\) est intégrable ;
pour presque tout \(t\), \(x\mapsto f(x,t)\) est de classe \(C^1\) sur \(I\) ;
il existe \(g\) intégrable telle que \(\left|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right|\le g(t)\) pour tout \(x\in I\) et presque tout \(t\).

Alors \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(I\) et \[ F'(x)=\int_\Omega \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,d\mu(t). \]

Exemple 2 : dériver l’intégrale oscillante

Reprenons \(F(x)=\int_0^{+\infty} e^{-t}\cos(xt)\,dt\). On a \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)=-t\,e^{-t}\sin(xt)\), donc \(\left|\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|\le t\,e^{-t}\), fonction intégrable d’intégrale \(\Gamma(2)=1\). Ainsi \(F\) est \(C^1\) et \[ F'(x)=-\int_0^{+\infty} t\,e^{-t}\sin(xt)\,dt. \] En particulier \(F'(0)=0\). Un calcul direct (partie réelle de \(\int_0^{+\infty} e^{-(1-ix)t}\,dt=\dfrac{1}{1-ix}\)) donne \(F(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\), dont la dérivée en \(0\) est bien nulle.

Domination uniforme obligatoire

Pour \(f(x,t)=x\,e^{-xt}\) sur \(t\in[0,+\infty[\) : \(F(x)=1\) si \(x>0\) mais \(F(0)=0\). La fonction \(F\) n’est pas continue en \(0\) : aucune majorante intégrable ne convient, car \(\sup_{x>0} x e^{-xt}=\dfrac{1}{et}\) n’est pas intégrable sur \(]0,+\infty[\).

4. Mesure produit et théorème de Tonelli

Mesure produit

Si \((X,\mathcal A,\mu)\) et \((Y,\mathcal B,\nu)\) sont des espaces mesurés \(\sigma\)-finis, il existe une unique mesure \(\mu\otimes\nu\) sur la tribu produit \(\mathcal A\otimes\mathcal B\) telle que \[ (\mu\otimes\nu)(A\times B)=\mu(A)\,\nu(B)\qquad (A\in\mathcal A,\ B\in\mathcal B). \] Pour les mesures de Lebesgue, \(\lambda_n\otimes\lambda_p=\lambda_{n+p}\).

Par exemple, le rectangle \([0,3]\times[1,5]\) a pour mesure \(3\times 4=12\), et un segment \(\{0\}\times[0,10]\) a pour mesure \(0\times 10=0\) : un segment est de mesure nulle dans le plan.

Théorème de Tonelli

Soit \(f : X\times Y\to[0,+\infty]\) mesurable pour la tribu produit. Alors \(x\mapsto\int f(x,y)\,d\nu(y)\) et \(y\mapsto\int f(x,y)\,d\mu(x)\) sont mesurables et \[ \int_{X\times Y} f\,d(\mu\otimes\nu)=\int_X\Big(\int_Y f(x,y)\,d\nu(y)\Big)d\mu(x)=\int_Y\Big(\int_X f(x,y)\,d\mu(x)\Big)d\nu(y), \] les trois quantités étant égales dans \([0,+\infty]\).

Tonelli ne demande aucune hypothèse d’intégrabilité : seulement la positivité et la mesurabilité. C’est l’outil pour montrer qu’une fonction est intégrable sur un produit : on calcule \(\int |f|\) par intégrales itérées.

5. Théorème de Fubini

Théorème de Fubini

Soit \(f\) mesurable sur \(X\times Y\) et intégrable pour \(\mu\otimes\nu\) (c’est-à-dire \(\int |f|\,d(\mu\otimes\nu)<+\infty\)). Alors pour presque tout \(x\), \(y\mapsto f(x,y)\) est intégrable, la fonction \(x\mapsto\int f(x,y)\,d\nu(y)\) est intégrable, et \[ \int_{X\times Y} f\,d(\mu\otimes\nu)=\int_X\Big(\int_Y f\,d\nu\Big)d\mu=\int_Y\Big(\int_X f\,d\mu\Big)d\nu. \]

Méthode : calculer une intégrale double

Décrire le domaine \(D\) et vérifier la mesurabilité de l’intégrande.
Montrer l’intégrabilité : si \(f\) est continue sur un compact, c’est automatique ; sinon, appliquer Tonelli à \(|f|\).
Choisir l’ordre d’intégration qui donne une primitive explicite.
Décrire \(D\) par tranches dans cet ordre, puis calculer deux intégrales simples.

Exemple 3 : inverser l’ordre sur un triangle

Calculons \(I=\int_0^1\Big(\int_y^1 \cos(x^2)\,dx\Big)dy\). La fonction \(x\mapsto\cos(x^2)\) n’a pas de primitive élémentaire. Le domaine est \(\{0\le y\le x\le 1\}\) (le triangle coloré) ; la fonction est continue bornée sur ce compact, donc intégrable. D’après Fubini, \[ I=\int_0^1\cos(x^2)\Big(\int_0^x dy\Big)dx=\int_0^1 x\cos(x^2)\,dx=\Big[\tfrac12\sin(x^2)\Big]_0^1=\frac{\sin 1}{2}. \]

Sans intégrabilité, Fubini est faux

Sur \(]0,1]^2\), soit \(f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\). Pour \(x\) fixé, \(\int_0^1 f(x,y)\,dy=\Big[\dfrac{y}{x^2+y^2}\Big]_0^1=\dfrac{1}{1+x^2}\), d’où \(\int_0^1\!\!\int_0^1 f\,dy\,dx=\dfrac{\pi}{4}\). Mais \(f(y,x)=-f(x,y)\), donc l’autre ordre donne \(-\dfrac{\pi}{4}\). Les deux intégrales itérées existent et diffèrent : \(f\) n’est pas intégrable sur le carré.

6. Changement de variables

Changement de variables dans \(\mathbb R^n\)

Soit \(\varphi : U\to V\) un \(C^1\)-difféomorphisme entre ouverts de \(\mathbb R^n\) et \(f\) mesurable sur \(V\), positive ou intégrable. Alors \[ \int_V f(y)\,dy=\int_U f(\varphi(x))\,|\det J_\varphi(x)|\,dx. \]

Cas fondamental, les coordonnées polaires \(\varphi(r,\theta)=(r\cos\theta,\,r\sin\theta)\) : \(|\det J_\varphi|=r\), et \(\varphi\) réalise un difféomorphisme de \(]0,+\infty[\times]0,2\pi[\) sur le plan privé d’une demi-droite (la demi-droite retirée est un ensemble négligeable). Ainsi \(dx\,dy=r\,dr\,d\theta\).

Exemple 4 : l’intégrale de Gauss

Posons \(G=\int_{\mathbb R}e^{-x^2}dx\). D’après Tonelli, \(G^2=\iint_{\mathbb R^2}e^{-(x^2+y^2)}dx\,dy\). En polaires : \[ G^2=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{+\infty} e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta=2\pi\Big[-\tfrac12 e^{-r^2}\Big]_0^{+\infty}=\pi. \] Comme \(G>0\), on obtient \(G=\sqrt{\pi}\).

7. La fonction Gamma

Fonction Gamma d’Euler

Pour \(x>0\), \[ \Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt. \]

L’intégrale converge : en \(0\), \(t^{x-1}e^{-t}\sim t^{x-1}\) est intégrable car \(x>0\) ; en \(+\infty\), \(t^{x-1}e^{-t}=o(t^{-2})\). Sur tout segment \([a,b]\subset]0,+\infty[\), la domination par \(g(t)=t^{a-1}\) pour \(t\le 1\) et \(g(t)=t^{b-1}e^{-t}\) pour \(t\ge 1\) assure que \(\Gamma\) est continue, et même de classe \(C^\infty\) par dérivations successives sous l’intégrale.

Propriétés de Gamma

\(\Gamma(1)=1\) et \(\Gamma(x+1)=x\,\Gamma(x)\) pour tout \(x>0\) (intégration par parties).
Pour tout entier \(n\ge 0\), \(\Gamma(n+1)=n!\).
\(\Gamma\!\left(\tfrac12\right)=\sqrt{\pi}\).
Pour \(a>0\), \(\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-at}\,dt=\frac{\Gamma(x)}{a^{x}}\).

\(x\)	\(\tfrac12\)	\(1\)	\(\tfrac32\)	\(2\)	\(\tfrac52\)	\(3\)	\(4\)
\(\Gamma(x)\)	\(\sqrt\pi\)	\(1\)	\(\tfrac{\sqrt\pi}{2}\)	\(1\)	\(\tfrac{3\sqrt\pi}{4}\)	\(2\)	\(6\)

Exemple 5 : la valeur en un demi

Dans \(\Gamma(\frac12)=\int_0^{+\infty}t^{-1/2}e^{-t}\,dt\), le changement de variable \(t=u^2\) (\(dt=2u\,du\)) donne \(\Gamma(\tfrac12)=2\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=2\cdot\dfrac{\sqrt\pi}{2}=\sqrt\pi\), puisque l’intégrale de Gauss sur \(\mathbb R\) vaut \(\sqrt\pi\) et que l’intégrande est paire. On en déduit \(\Gamma(\tfrac32)=\tfrac12\sqrt\pi\) et \(\Gamma(\tfrac52)=\tfrac32\cdot\tfrac12\sqrt\pi=\tfrac{3\sqrt\pi}{4}\).

Astuce de Zyro

Face à une intégrale en \(t^{k}e^{-at}\), ne cherche pas de primitive : le changement \(u=at\) la ramène à \(\Gamma(k+1)/a^{k+1}\), et \(\Gamma(k+1)=k!\) pour un entier \(k\).

À retenir

Continuité sous l’intégrale : continuité en \(x\) pour presque tout \(t\) et domination \(|f(x,t)|\le g(t)\), \(g\) intégrable.
Dérivation sous l’intégrale : même chose avec \(\partial_x f\) ; alors \(F'(x)=\int\partial_x f\,d\mu\).
Tonelli : pour \(f\ge 0\) mesurable, l’ordre d’intégration est libre, sans autre hypothèse.
Fubini : pour \(f\) intégrable sur le produit, les intégrales itérées existent et sont égales à l’intégrale double.
Changement de variables : on multiplie par \(|\det J_\varphi|\) ; polaires : \(r\,dr\,d\theta\).
\(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\), \(\Gamma(n+1)=n!\), \(\Gamma(\tfrac12)=\sqrt\pi\), \(\int_{\mathbb R}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi\).