1 Normes et inégalités dans \(\mathbb R^3\) / 4 pts
Soit \(x=(1,-2,2)\) et \(y=(3,0,-4)\) dans \(\mathbb R^3\).
- Calculer \(\|x\|_1\), \(\|x\|_2\), \(\|x\|_\infty\) et \(\|y\|_2\).
- Calculer \(\langle x,y\rangle\) et vérifier l’inégalité de Cauchy–Schwarz.
- Calculer \(\|x+y\|_2\) et vérifier l’inégalité de Minkowski.
- Vérifier l’inégalité de Hölder avec \(p=1\) et \(q=\infty\).
2 Intégrabilité d’une puissance / 3 pts
Soit \(f(x)=x^{-2/5}\) sur \(]0,1]\).
- Pour quelles valeurs de \(p\ge1\) a-t-on \(f\in L^p(]0,1])\) ?
- Calculer \(\|f\|_1\) et \(\|f\|_2\).
- La fonction \(f\) est-elle dans \(L^3(]0,1])\) ? Justifier.
3 Projection orthogonale dans \(L^2\) / 4 pts
Dans \(L^2(]0,1[)\), soit \(f(t)=t^2\) et \(F=\operatorname{Vect}(g)\) avec \(g(t)=t\).
- Calculer \(\langle f,g\rangle\) et \(\|g\|^2\).
- Déterminer la projection orthogonale \(p_F(f)\).
- Calculer \(\operatorname{d}(f,F)^2\) à l’aide du théorème de Pythagore.
4 Base hilbertienne et Parseval / 4 pts
Dans \(L^2(]0,\pi[)\), on admet que \(e_n(t)=\sqrt{\tfrac2\pi}\sin(nt)\) (\(n\ge1\)) est une base hilbertienne. Soit \(f(t)=t\).
- Vérifier que \(\|e_1\|=1\).
- Montrer que \(\langle f,e_n\rangle=\sqrt{2\pi}\,\dfrac{(-1)^{n+1}}n\) (on pourra intégrer par parties).
- En déduire \(\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac1{n^2}\).
5 Théorème de Riesz / 3 pts
Sur \(L^2(]0,1[)\), soit \(\varphi(f)=\displaystyle\int_0^1(1+t)f(t)\,dt\).
- Donner \(a\in L^2\) tel que \(\varphi=\langle\cdot,a\rangle\).
- Calculer \(\|\varphi\|\).
- Donner une fonction \(f\) de norme 1 telle que \(\varphi(f)=\|\varphi\|\), et vérifier avec \(f=1\) que \(|\varphi(1)|\le\|\varphi\|\).
6 Vrai ou faux / 2 pts
Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifier.
- L’espace \(\mathbb R^2\) muni de la norme \(\|\cdot\|_1\) est un espace de Hilbert.
- Si \((e_n)\) est une famille orthonormée de \(H\), alors \(\sum|\langle x,e_n\rangle|^2\le\|x\|^2\) pour tout \(x\).
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