Espaces vectoriels et applications linéaires : exercices corrigés de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Sous-espaces ou non ? ★★★

1. \((0,0)\in A\) et \(\lambda(x,y)+\mu(x',y')\) vérifie \(\lambda(x+y)+\mu(x'+y')=0\) : oui.
2. \((0,0)\notin B\) : non.
3. \((1,0)\) et \((0,1)\) sont dans \(C\) mais leur somme \((1,1)\) n’y est pas (\(1\times1\neq0\)) : non.
4. \((1,0)\in D\) mais \(-1\cdot(1,0)=(-1,0)\notin D\) : non.

2 Combinaisons linéaires ★★★

1. \(2v-3w=(2-6,\ 4+3,\ 6-0)=(-4,7,6)\).
2. Cherchons \(av+bw=(5,0,3)\) : la dernière coordonnée donne \(3a=3\), donc \(a=1\) ; la première donne \(1+2b=5\), donc \(b=2\) ; la deuxième : \(2-2=0\), c’est cohérent. Donc \((5,0,3)=v+2w\) : oui. Pour \((5,3,3)\) la 3ème et la 1ère coordonnées imposent \(a=1\), \(b=2\), mais la 2ème coordonnée vaudrait alors \(2a-b=0\neq3\) : non.

3 Famille libre ou liée ★★★

1. \(3\cdot(1,2)=(3,6)\) : les vecteurs sont proportionnels, la famille est liée.
2. Le déterminant vaut \(2\times3-1\times1=5\neq0\) : la famille est libre (et c’est une base de \(\mathbb{R}^2\)).
3. On a \((1,0)+(0,1)-(1,1)=0\) : liée. Trois vecteurs dans un espace de dimension 2 forment toujours une famille liée.

4 Calculer des dimensions ★★★

1. Base \((1,X,X^2,X^3)\) : dimension 4.
2. Base des matrices élémentaires : \(2\times3=\) 6.
3. Base \((1,i)\) : dimension 2.
4. Les éléments sont \((x,y,z,x)=x(1,0,0,1)+y(0,1,0,0)+z(0,0,1,0)\) : dimension 3.

5 Linéaire ou pas ? ★★★

1. Chaque coordonnée est une combinaison linéaire de \(x\) et \(y\) : \(f\) est linéaire. Et \(f(2,1)=(4-1,\ 2+3)=(3,5)\).
2. \(g(0,0)=(1,0)\neq(0,0)\) : non linéaire.
3. \(h(2,2)=(4,2)\) alors que \(2h(1,1)=(2,2)\) : non linéaire.

6 Un noyau et une image dans le plan ★★★

\(f(x,y)=0\) équivaut à \(x=2y\) (la seconde équation est \(-2\) fois la première). Donc \(\operatorname{Ker} f=\operatorname{Vect}((2,1))\), de dimension 1. Par ailleurs \(f(x,y)=(x-2y)(1,-2)\), donc \(\operatorname{Im} f=\operatorname{Vect}((1,-2))\), de dimension 1. Vérification : \(1+1=2=\dim\mathbb{R}^2\).

7 La dérivation des polynômes ★★★

La dérivation est linéaire : \((\lambda P+\mu Q)'=\lambda P'+\mu Q'\). Si \(P=a+bX+cX^2\), alors \(P'=b+2cX\). Donc \(P'=0\) si et seulement si \(b=c=0\) : \(\operatorname{Ker} D=\mathbb{R}_0[X]\) (les constantes), de dimension 1. L’image est \(\{b+2cX\}=\mathbb{R}_1[X]\), de dimension 2, donc \(\operatorname{rg}D=2\). Vérification : \(1+2=3=\dim\mathbb{R}_2[X]\).

8 Base d’un sous-espace de \(\mathbb{R}^4\) ★★★

Un élément de \(F\) s’écrit \((x,-x,z,z)=x(1,-1,0,0)+z(0,0,1,1)\). La famille \(((1,-1,0,0),(0,0,1,1))\) est génératrice, et libre car non proportionnelle (les supports sont disjoints). C’est une base et \(\dim F=2\).

9 Famille liée dans \(\mathbb{R}^3\) ★★★

On remarque \(2u_1-u_2=(2-2,\ 4-1,\ 2-0)=(0,3,2)=u_3\), soit \(2u_1-u_2-u_3=0\) : la famille est liée. Comme \(u_1\) et \(u_2\) ne sont pas proportionnels, ils sont libres, et \(u_3\in\operatorname{Vect}(u_1,u_2)\). Donc \(\operatorname{Vect}(u_1,u_2,u_3)=\operatorname{Vect}(u_1,u_2)\), de base \((u_1,u_2)\) et de dimension (rang de la famille) 2.

10 Un plan et une droite supplémentaires ★★★

Si \((t,t,t)\in F\), alors \(3t=0\), donc \(t=0\) : \(F\cap G=\{0\}\). Or \(\dim F=2\) (équation unique non nulle) et \(\dim G=1\), donc \(\dim F+\dim G=3=\dim\mathbb{R}^3\) : on a bien \(\mathbb{R}^3=F\oplus G\). Décomposition : \((3,0,0)=(1,1,1)+(2,-1,-1)\), avec \((1,1,1)\in G\) et \((2,-1,-1)\in F\) car \(2-1-1=0\).

11 Dimension d’une intersection ★★★

Grassmann : \(\dim(F\cap G)=6-\dim(F+G)\). a) Comme \(\dim(F+G)\leq5\), on a \(\dim(F\cap G)\geq1\) : minimum 1. b) Si \(\dim(F\cap G)=1\), alors \(\dim(F+G)=5\), donc \(F+G=\mathbb{R}^5\) (sous-espace de dimension maximale). c) Le maximum est 3, atteint si \(F=G\).

12 Noyau et image d’un endomorphisme ★★★

Noyau. \(x+y=0\) et \(y+z=0\) donnent \(y=-x\), \(z=x\), et la 3ème équation \(x-z=0\) est alors vraie. Donc \(\operatorname{Ker} f=\operatorname{Vect}((1,-1,1))\). Image. Posons \(a=x+y\), \(b=y+z\) : alors \(x-z=a-b\). Donc \(\operatorname{Im} f\subset\{(a,b,c) : c=a-b\}\), plan de dimension 2, de base \(((1,0,1),(0,1,-1))\). Le théorème du rang donne \(\operatorname{rg}f=3-1=2\), d’où l’égalité. \(f\) n’est ni injective (noyau non nul) ni surjective (rang 2 inférieur à 3).

13 Appliquer le théorème du rang ★★★

1. \(\operatorname{rg}f=3\), donc \(\dim\operatorname{Ker}f=5-3=2\).
2. \(\operatorname{Ker}f=\{0\}\), donc \(\operatorname{rg}f=4=\dim\mathbb{R}^4\) : \(f\) est surjective, donc bijective.
3. \(\operatorname{rg}f\leq\dim\mathbb{R}^3=3<5\) : non, \(f\) n’est jamais surjective.

14 Interpolation et isomorphisme ★★★

a) La linéarité vient de \((\lambda P+\mu Q)(a)=\lambda P(a)+\mu Q(a)\). Si \(\varphi(P)=0\), le polynôme \(P\), de degré au plus 2, a trois racines distinctes \(0,1,2\) : c’est le polynôme nul. Donc \(\operatorname{Ker}\varphi=\{0\}\). b) Comme \(\dim\mathbb{R}_2[X]=3=\dim\mathbb{R}^3\), l’injectivité entraîne la bijectivité : \(\varphi\) est un isomorphisme. c) \(\varphi(X^2)=(0,1,4)\).

15 Un supplémentaire dans \(\mathbb{R}^4\) ★★★

Prenons \(G=\operatorname{Vect}((0,0,1,0),(0,0,0,1))\). Les quatre vecteurs \((1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\) forment une matrice triangulaire de déterminant 1, donc une base de \(\mathbb{R}^4\) : \(\mathbb{R}^4=F\oplus G\). (Le supplémentaire n’est pas unique : \(\operatorname{Vect}((1,0,0,0),(0,1,0,0))\) convient aussi.)

16 Un projecteur ★★★

a) Le déterminant de \((1,1),(1,2)\) vaut \(1\neq0\) : c’est une base, donc \(\mathbb{R}^2=F\oplus G\). On résout \((x,y)=a(1,1)+b(1,2)\) : \(a+b=x\) et \(a+2b=y\), d’où \(b=y-x\) et \(a=2x-y\). b) Ainsi \(p(x,y)=(2x-y)(1,1)=(2x-y,\ 2x-y)\). Alors \(p(p(x,y))=p(2x-y,2x-y)=(2(2x-y)-(2x-y))(1,1)=(2x-y)(1,1)=p(x,y)\) : \(p\circ p=p\). On a \(\operatorname{Ker}p=\{(x,y) : 2x=y\}=G\) car \(p(1,2)=0\), et \(\operatorname{Im}p=F\).

17 Rang d’une composée ★★★

Si \(f(u)=0\), alors \(g(f(u))=g(0)=0\) : \(\operatorname{Ker}f\subset\operatorname{Ker}(g\circ f)\). Ensuite \(\operatorname{Im}(g\circ f)=g(\operatorname{Im}f)\subset\operatorname{Im}g\), d’où \(\operatorname{rg}(g\circ f)\leq\operatorname{rg}g\). Enfin, \(g\) restreinte à \(\operatorname{Im}f\) a pour image \(g(\operatorname{Im}f)\) et le théorème du rang donne \(\dim g(\operatorname{Im}f)\leq\dim\operatorname{Im}f\), soit \(\operatorname{rg}(g\circ f)\leq\operatorname{rg}f\). Exemple : \(f(x,y)=(x,y,0)\) (rang 2) et \(g(x,y,z)=(x+y,0)\) (rang 1). Alors \(g\circ f(x,y)=(x+y,0)\) est de rang 1, strictement inférieur à \(\operatorname{rg}f=2\).

18 Endomorphisme de carré nul ★★★

a) Si \(v=u(w)\in\operatorname{Im}u\), alors \(u(v)=u(u(w))=0\) : \(v\in\operatorname{Ker}u\). b) Donc \(\operatorname{rg}u\leq\dim\operatorname{Ker}u=n-\operatorname{rg}u\) (théorème du rang), d’où \(2\operatorname{rg}u\leq n\). c) Pour \(n=5\) : \(\operatorname{rg}u\leq2{,}5\), donc \(\operatorname{rg}u\leq2\). d) \(u(u(x,y,z,t))=u(z,t,0,0)=(0,0,0,0)\) ; l’image est \(\{(z,t,0,0)\}\), de dimension 2 \(=n/2\) : la borne est atteinte.

19 Hyperplan noyau d’une forme linéaire ★★★

a) \(\varphi(1,0,0,0)=1\), donc \(\operatorname{Im}\varphi\) est un sous-espace non nul de \(\mathbb{R}\) : c’est \(\mathbb{R}\), et \(\operatorname{rg}\varphi=1\). Alors \(\dim\operatorname{Ker}\varphi=4-1=3\). b) Les vecteurs \((-2,1,0,0)\), \((1,0,1,0)\), \((-3,0,0,1)\) sont dans le noyau (\(-2+2=0\), \(1-1=0\), \(-3+3=0\)) et forment une famille libre (chacun possède une coordonnée non nulle propre sur les positions 2, 3, 4). Trois vecteurs libres dans un espace de dimension 3 : c’est une base. c) Une forme non nulle est de rang 1 (image non nulle dans \(\mathbb{K}\)), donc son noyau est de dimension \(n-1\) : c’est un hyperplan.

20 Polynômes s’annulant en 1 ★★★

a) \(F=\operatorname{Ker}(\mathrm{ev}_1)\), où \(\mathrm{ev}_1:P\mapsto P(1)\) est linéaire de \(E\) dans \(\mathbb{R}\) ; c’est donc un sous-espace. L’évaluation est surjective (\(\mathrm{ev}_1(1)=1\)), donc \(\dim F=4-1=3\). b) Si une constante \(c\) est dans \(F\), alors \(c=c(1)=0\) : \(F\cap G=\{0\}\). Comme \(\dim F+\dim G=3+1=4=\dim E\), on a \(E=F\oplus G\). c) Pour tout \(P\), \(P=(P-P(1))+P(1)\) avec \(P-P(1)\in F\). Ainsi \(X^3=(X^3-1)+1\), avec \(X^3-1\in F\) et \(1\in G\).