Dérivation et formules de Taylor : exercices corrigés de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Nombre dérivé par la définition ★★★

\(f(2)=4+6=10\). Pour \(h\neq 0\) : \(f(2+h)=4+4h+h^2+6+3h=10+7h+h^2\), donc \(\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=7+h\).

Quand \(h\to 0\), le taux tend vers 7 : \(f'(2)=7\).

Tangente : \(y=10+7(x-2)=7x-4\).

2 Vrai ou faux ? ★★★

a) Vrai : \(f(a+h)-f(a)=h\times\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\to 0\times f'(a)=0\).

b) Faux : \(|x|\) est continue en 0 sans y être dérivable.

c) Faux : le taux \(\dfrac{|h|}{h}\) vaut \(-1\) pour \(h\lt 0\) et \(1\) pour \(h\gt 0\), il n’a pas de limite en 0.

3 Calculs de dérivées ★★★

a) \(f'(x)=6xe^{2x}+2(3x^2-1)e^{2x}=(6x^2+6x-2)e^{2x}\).

b) \(g'(x)=\dfrac{(x^2+1)-2x(x+1)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-2x-x^2}{(x^2+1)^2}\).

c) \(h'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\).

4 Rolle sur un trinôme ★★★

\(f\) est polynomiale, donc continue et dérivable. \(f(1)=1-4+3=0\) et \(f(3)=9-12+3=0\) : les hypothèses sont satisfaites.

\(f'(x)=2x-4=0\iff x=2\), et \(2\in\,]1,3[\). Donc \(c=2\).

5 Accroissements finis pour le carré ★★★

\(\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{16-1}{3}=5\). On résout \(f'(c)=2c=5\), soit \(c=\dfrac52=2{,}5\), qui appartient bien à \(]1,4[\).

6 Convexité d’un polynôme ★★★

\(f'(x)=3x^2-12x\) et \(f''(x)=6x-12=6(x-2)\).

\(f''\lt 0\) sur \(]-\infty,2[\) : \(f\) est concave ; \(f''\gt 0\) sur \(]2,+\infty[\) : \(f\) est convexe. Comme \(f''\) change de signe en 2, il y a un point d’inflexion d’abscisse 2, d’ordonnée \(f(2)=8-24+1=-15\).

7 Un développement limité simple ★★★

\(\cos(2x)=1-\dfrac{(2x)^2}{2}+o(x^3)=1-2x^2+o(x^3)\) (le terme d’ordre 4 est négligeable).

\(e^{-x}=1-x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)\).

Somme : \(f(x)=2-x-\dfrac32x^2-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)\).

8 Dérivable avec une dérivée discontinue ★★★

1) Le taux en 0 vaut \(\dfrac{f(h)}{h}=h\cos\dfrac1h\), de valeur absolue \(\le|h|\), donc tend vers 0 : \(f'(0)=0\).

2) Pour \(x\neq0\) : \(f'(x)=2x\cos\dfrac1x+x^2\sin\dfrac1x\times\dfrac1{x^2}=2x\cos\dfrac1x+\sin\dfrac1x\). Le premier terme tend vers 0, mais \(\sin\dfrac1x\) oscille entre \(-1\) et 1 (par exemple, il vaut 1 pour \(x=\dfrac{1}{\pi/2+2k\pi}\) et \(-1\) pour \(x=\dfrac{1}{3\pi/2+2k\pi}\), suites tendant vers 0). Donc \(f'\) n’a pas de limite en 0 : \(f\) est dérivable en 0 sans que \(f'\) soit continue.

9 Un polynôme avec au plus une racine ★★★

Posons \(P(x)=x^3-3x+m\). Supposons deux racines \(\alpha\lt\beta\) dans \([-1,1]\). Alors \(P(\alpha)=P(\beta)=0\) et, d’après Rolle, il existe \(c\in\,]\alpha,\beta[\subset\,]-1,1[\) tel que \(P'(c)=0\).

Or \(P'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)\lt 0\) pour \(x\in\,]-1,1[\) : contradiction. Il y a donc au plus une racine dans \([-1,1]\).

10 Une inégalité sur l’arctangente ★★★

1) \(\arctan'(x)=\dfrac1{1+x^2}\in\,]0,1]\). Par l’inégalité des accroissements finis avec \(M=1\), \(|\arctan b-\arctan a|\le b-a\).

2) Sur \([3;3{,}2]\), \(\arctan'(x)\le\dfrac{1}{1+9}=0{,}1\). Avec \(M=0{,}1\) : \(0\le\arctan(3{,}2)-\arctan 3\le 0{,}1\times0{,}2=0{,}02\) (la positivité vient de la croissance de arctan).

11 Convexité de x ln x ★★★

1) \(f'(x)=\ln x+1\), \(f''(x)=\dfrac1x\gt0\) : \(f\) est convexe.

2) Avec \(\lambda=\dfrac12\) dans la définition : \(f\left(\dfrac{a+b}2\right)\le\dfrac{f(a)+f(b)}2\). Pour \(a=1,b=3\) : \(2\ln2\le\dfrac{3\ln3}{2}\), soit \(4\ln2\le3\ln3\), c’est-à-dire \(16\le27\) après passage à l’exponentielle.

12 Développement limité d’un logarithme ★★★

On remplace \(x\) par \(2x\) dans \(\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^4}4+o(x^4)\) :

\(\ln(1+2x)=2x-2x^2+\dfrac{8x^3}{3}-4x^4+o(x^4)\).

Donc \(\ln(1+2x)-2x=-2x^2+\dfrac{8x^3}3-4x^4+o(x^4)\).

13 Une limite par développement limité ★★★

À l’ordre 2 : \(e^x=1+x+\dfrac{x^2}2+o(x^2)\) et \(\cos x=1-\dfrac{x^2}2+o(x^2)\).

Numérateur : \(1+x+\dfrac{x^2}2-1+\dfrac{x^2}2-x+o(x^2)=x^2+o(x^2)\).

Donc le quotient vaut \(1+o(1)\) et la limite est 1.

14 Deux limites avec L’Hôpital ★★★

a) Forme \(\frac00\). On dérive : \(\dfrac{3e^{3x}-3}{2x}\), encore \(\frac00\). On dérive : \(\dfrac{9e^{3x}}{2}\to\dfrac92\). La limite vaut \(\dfrac92\).

b) Forme \(\frac\infty\infty\). Le quotient des dérivées est \(\dfrac{1/x}{1}=\dfrac1x\to0\). La limite vaut 0.

15 Taylor-Young de la racine ★★★

1) \(f(0)=1\) ; \(f'(x)=\dfrac12(1+x)^{-1/2}\), \(f'(0)=\dfrac12\) ; \(f''(x)=-\dfrac14(1+x)^{-3/2}\), \(f''(0)=-\dfrac14\) ; \(f^{(3)}(x)=\dfrac38(1+x)^{-5/2}\), \(f^{(3)}(0)=\dfrac38\).

Coefficients : \(\dfrac12\), \(-\dfrac{1}{4\times2}=-\dfrac18\), \(\dfrac{3/8}{6}=\dfrac1{16}\). Donc \(\sqrt{1+x}=1+\dfrac x2-\dfrac{x^2}8+\dfrac{x^3}{16}+o(x^3)\).

2) Pour \(x=0{,}02\) : \(1+0{,}01-0{,}00005+0{,}0000005=1{,}0099505\). Donc \(\sqrt{1{,}02}\approx1{,}00995\).

16 Un reste intégral pour le cosinus ★★★

1) Pour \(f=\cos\), \(f(0)=1\), \(f'(0)=0\), \(f''(0)=-1\), \(f^{(3)}(0)=0\). La formule d’ordre 3 donne \(\cos x=1-\dfrac{x^2}2+\displaystyle\int_0^x\dfrac{(x-t)^3}{3!}\cos t\,dt\) (car \(f^{(4)}=\cos\)). Comme \(|\cos t|\le1\), le reste est majoré par \(\left|\displaystyle\int_0^x\dfrac{(x-t)^3}{6}dt\right|=\dfrac{|x|^4}{24}\).

2) Pour \(x=0{,}4\) : \(1-0{,}08=0{,}92\) et \(\dfrac{0{,}4^4}{24}=\dfrac{0{,}0256}{24}\approx0{,}001067\). Donc \(0{,}9189\le\cos0{,}4\le0{,}9211\).

17 Étude locale d’une fonction prolongée ★★★

1) \(e^x-1=x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6+\dfrac{x^4}{24}+o(x^4)\). On divise par \(x\) : \(f(x)=1+\dfrac x2+\dfrac{x^2}6+\dfrac{x^3}{24}+o(x^3)\).

2) On prolonge par \(f(0)=1\) (continuité). Le développement montre \(f'(0)=\dfrac12\) ; la tangente en 0 est \(y=1+\dfrac x2\).

Au voisinage de 0, \(f(x)-\left(1+\dfrac x2\right)\sim\dfrac{x^2}6\gt0\) : la courbe est au-dessus de sa tangente.

18 Un développement limité composé ★★★

\(u=\sin x=x-\dfrac{x^3}6+o(x^4)\). Alors \(u^2=x^2-\dfrac{x^4}3+o(x^4)\), \(u^3=x^3+o(x^4)\), \(u^4=x^4+o(x^4)\).

\(\ln(1+u)=u-\dfrac{u^2}2+\dfrac{u^3}3-\dfrac{u^4}4+o(x^4)\)

\(=x-\dfrac{x^3}6-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^4}6+\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^4}4+o(x^4)\)

\(=x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6-\dfrac{x^4}{12}+o(x^4)\).

19 Une limite difficile ★★★

On écrit \(\dfrac1{\sin^2x}-\dfrac1{x^2}=\dfrac{x^2-\sin^2x}{x^2\sin^2x}\).

\(\sin x=x-\dfrac{x^3}6+o(x^3)\), donc \(\sin^2x=x^2-\dfrac{x^4}3+o(x^4)\) et \(x^2-\sin^2x=\dfrac{x^4}3+o(x^4)\). Le dénominateur vaut \(x^4+o(x^4)\).

Le quotient tend vers \(\dfrac13\).

20 Encadrer le nombre e ★★★

Avec \(x=\dfrac1n\) : \(\dfrac{1/n}{1+1/n}=\dfrac1{n+1}\le\ln\left(1+\dfrac1n\right)\le\dfrac1n\).

En multipliant par \(n\) la partie droite : \(n\ln\left(1+\dfrac1n\right)\le1\), soit \(\left(1+\dfrac1n\right)^n\le e\). En multipliant par \(n+1\) la partie gauche : \(1\le(n+1)\ln\left(1+\dfrac1n\right)\), soit \(e\le\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}\).

Pour \(n=10\) : \(1{,}1^{10}\approx2{,}5937\le e\le1{,}1^{11}\approx2{,}8531\).