Dériver, c’est mesurer la vitesse de variation d’une fonction ; les formules de Taylor poussent cette idée jusqu’au bout en remplaçant une fonction compliquée par un polynôme qui lui ressemble de très près. Ce chapitre présente la dérivabilité, les trois grands théorèmes qui en découlent (Rolle, accroissements finis, convexité), puis l’approximation locale par les développements limités et leurs applications aux limites.
1. Dérivabilité en un point
Définition
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et \(a\in I\). On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) si le taux d’accroissement \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) admet une limite finie quand \(h\to 0\) (\(h\neq 0\)). Cette limite est le nombre dérivé \(f'(a)\). La droite d’équation \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\) est la tangente à la courbe en \(a\).
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et \(a\in I\). On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) si le taux d’accroissement \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) admet une limite finie quand \(h\to 0\) (\(h\neq 0\)). Cette limite est le nombre dérivé \(f'(a)\). La droite d’équation \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\) est la tangente à la courbe en \(a\).
Le taux d’accroissement est la pente de la sécante passant par \(A(a\,;f(a))\) et \(M(a+h\,;f(a+h))\). Quand \(M\) glisse vers \(A\), la sécante tend vers la tangente.
On définit de même la dérivée à gauche et la dérivée à droite (limites quand \(h\to 0^-\) et \(h\to 0^+\)) ; \(f\) est dérivable en \(a\) exactement lorsque les deux existent et sont égales.
Propriétés
1) Si \(f\) est dérivable en \(a\), elle est continue en \(a\). La réciproque est fausse. 2) Les règles de dérivation : \((u+v)'=u'+v'\), \((uv)'=u'v+uv'\), \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), \((v\circ u)'=u'\times v'\circ u\), et pour une bijection dérivable de dérivée non nulle \((f^{-1})'=\dfrac{1}{f'\circ f^{-1}}\).
1) Si \(f\) est dérivable en \(a\), elle est continue en \(a\). La réciproque est fausse. 2) Les règles de dérivation : \((u+v)'=u'+v'\), \((uv)'=u'v+uv'\), \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), \((v\circ u)'=u'\times v'\circ u\), et pour une bijection dérivable de dérivée non nulle \((f^{-1})'=\dfrac{1}{f'\circ f^{-1}}\).
Exemple 1 : une fonction dérivable en 0 dont la dérivée oscille (voir l’exercice 8)
Soit \(f(x)=x^2\sin\dfrac1x\) pour \(x\neq 0\) et \(f(0)=0\). Le taux en 0 vaut \(\dfrac{f(h)}{h}=h\sin\dfrac1h\), qui tend vers 0 car \(\left|h\sin\frac1h\right|\le |h|\). Donc \(f\) est dérivable en 0 et \(f'(0)=0\).
Soit \(f(x)=x^2\sin\dfrac1x\) pour \(x\neq 0\) et \(f(0)=0\). Le taux en 0 vaut \(\dfrac{f(h)}{h}=h\sin\dfrac1h\), qui tend vers 0 car \(\left|h\sin\frac1h\right|\le |h|\). Donc \(f\) est dérivable en 0 et \(f'(0)=0\).
Exemple 2 : une dérivée composée
Pour \(g(x)=\ln(1+x^2)\,e^{3x}\), on obtient \(g'(x)=\left(\dfrac{2x}{1+x^2}+3\ln(1+x^2)\right)e^{3x}\).
Pour \(g(x)=\ln(1+x^2)\,e^{3x}\), on obtient \(g'(x)=\left(\dfrac{2x}{1+x^2}+3\ln(1+x^2)\right)e^{3x}\).
Attention
La valeur absolue est continue en 0 sans y être dérivable : sa dérivée à gauche vaut \(-1\) et sa dérivée à droite vaut \(1\). Continue ne veut pas dire dérivable.
La valeur absolue est continue en 0 sans y être dérivable : sa dérivée à gauche vaut \(-1\) et sa dérivée à droite vaut \(1\). Continue ne veut pas dire dérivable.
2. Le théorème de Rolle
Théorème de Rolle
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\), avec \(f(a)=f(b)\). Alors il existe \(c\in\,]a,b[\) tel que \(f'(c)=0\).
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\), avec \(f(a)=f(b)\). Alors il existe \(c\in\,]a,b[\) tel que \(f'(c)=0\).
Idée de la preuve. Une fonction continue sur un segment atteint son maximum et son minimum. Si l’un d’eux est atteint en un point intérieur \(c\), la dérivée y est nulle ; sinon les deux extrema sont atteints aux bornes, donc égaux, et \(f\) est constante.
Exemple 3 : une seule racine
Montrons que \(x^3+5x-7=0\) a exactement une solution réelle. Posons \(f(x)=x^3+5x-7\) : \(f(1)=-1\) et \(f(2)=11\), le théorème des valeurs intermédiaires donne une racine. Si deux racines \(r_1\lt r_2\) existaient, Rolle fournirait \(c\) avec \(f'(c)=3c^2+5=0\), ce qui est impossible puisque \(3c^2+5\gt 0\).
Montrons que \(x^3+5x-7=0\) a exactement une solution réelle. Posons \(f(x)=x^3+5x-7\) : \(f(1)=-1\) et \(f(2)=11\), le théorème des valeurs intermédiaires donne une racine. Si deux racines \(r_1\lt r_2\) existaient, Rolle fournirait \(c\) avec \(f'(c)=3c^2+5=0\), ce qui est impossible puisque \(3c^2+5\gt 0\).
3. Les accroissements finis
Théorème des accroissements finis
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\). Il existe \(c\in\,]a,b[\) tel que \(f(b)-f(a)=f'(c)\,(b-a)\).
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\). Il existe \(c\in\,]a,b[\) tel que \(f(b)-f(a)=f'(c)\,(b-a)\).
Géométriquement, il existe un point où la tangente est parallèle à la corde. On l’obtient en appliquant Rolle à \(x\mapsto f(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\).
Conséquences
1) Si \(f'\ge 0\) sur un intervalle, \(f\) est croissante ; si \(f'=0\), \(f\) est constante. 2) Inégalité des accroissements finis : si \(|f'|\le M\) sur \(I\), alors \(|f(y)-f(x)|\le M|y-x|\) pour tous \(x,y\in I\).
1) Si \(f'\ge 0\) sur un intervalle, \(f\) est croissante ; si \(f'=0\), \(f\) est constante. 2) Inégalité des accroissements finis : si \(|f'|\le M\) sur \(I\), alors \(|f(y)-f(x)|\le M|y-x|\) pour tous \(x,y\in I\).
Exemple 4 : encadrer un logarithme
Pour \(x\gt 0\), le théorème sur \([0,x]\) donne \(\ln(1+x)=\dfrac{x}{1+c}\) avec \(0\lt c\lt x\), d’où \(\dfrac{x}{1+x}\lt\ln(1+x)\lt x\). Avec \(x=0{,}2\) : \(0{,}1666\ldots\lt\ln 1{,}2\lt 0{,}2\).
Pour \(x\gt 0\), le théorème sur \([0,x]\) donne \(\ln(1+x)=\dfrac{x}{1+c}\) avec \(0\lt c\lt x\), d’où \(\dfrac{x}{1+x}\lt\ln(1+x)\lt x\). Avec \(x=0{,}2\) : \(0{,}1666\ldots\lt\ln 1{,}2\lt 0{,}2\).
4. Convexité
Définition
\(f\) est convexe sur \(I\) si pour tous \(x,y\in I\) et tout \(\lambda\in[0,1]\) : \(f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)\). Elle est concave si \(-f\) est convexe. Un point d’inflexion est un point où la convexité change de sens.
\(f\) est convexe sur \(I\) si pour tous \(x,y\in I\) et tout \(\lambda\in[0,1]\) : \(f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)\). Elle est concave si \(-f\) est convexe. Un point d’inflexion est un point où la convexité change de sens.
Caractérisations
Pour \(f\) deux fois dérivable sur \(I\) : \(f\) convexe \(\iff f'\) croissante \(\iff f''\ge 0\) \(\iff\) la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes. Au point d’inflexion, \(f''\) s’annule en changeant de signe.
Pour \(f\) deux fois dérivable sur \(I\) : \(f\) convexe \(\iff f'\) croissante \(\iff f''\ge 0\) \(\iff\) la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes. Au point d’inflexion, \(f''\) s’annule en changeant de signe.
Exemple 5 : deux inégalités classiques
La fonction exponentielle est convexe (\(f''=e^x\gt 0\)), donc au-dessus de sa tangente en 0 : \(e^x\ge 1+x\). La fonction \(\ln\) est concave (\(\ln''(x)=-\frac1{x^2}\lt 0\)), donc \(\ln\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{\ln a+\ln b}{2}\), soit \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\) pour \(a,b\gt 0\).
La fonction exponentielle est convexe (\(f''=e^x\gt 0\)), donc au-dessus de sa tangente en 0 : \(e^x\ge 1+x\). La fonction \(\ln\) est concave (\(\ln''(x)=-\frac1{x^2}\lt 0\)), donc \(\ln\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{\ln a+\ln b}{2}\), soit \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\) pour \(a,b\gt 0\).
Exemple 6 : inflexion
Pour \(f(x)=x^3-3x^2\), \(f''(x)=6x-6\) : \(f\) est concave sur \(]-\infty,1]\), convexe sur \([1,+\infty[\), avec un point d’inflexion en \(x=1\).
Pour \(f(x)=x^3-3x^2\), \(f''(x)=6x-6\) : \(f\) est concave sur \(]-\infty,1]\), convexe sur \([1,+\infty[\), avec un point d’inflexion en \(x=1\).
5. La formule de Taylor-Young
Théorème de Taylor-Young
Si \(f\) est \(n\) fois dérivable en \(a\), alors, quand \(h\to 0\),
\[ f(a+h)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,h^k+o(h^n). \]
Si \(f\) est \(n\) fois dérivable en \(a\), alors, quand \(h\to 0\),
\[ f(a+h)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,h^k+o(h^n). \]
Le polynôme de droite est le polynôme de Taylor d’ordre \(n\). Le terme \(o(h^n)\) signifie « négligeable devant \(h^n\) » : c’est une formule locale, qui ne dit rien sur la taille de l’erreur loin de \(a\).
Exemple 7 : en un point autre que 0
Pour \(f=\sin\) en \(a=\dfrac\pi4\), toutes les dérivées valent \(\pm\dfrac{\sqrt2}{2}\) avec la suite de signes \(+,+,-,\ldots\). Donc \(\sin\left(\dfrac\pi4+h\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}\left(1+h-\dfrac{h^2}{2}\right)+o(h^2)\).
Pour \(f=\sin\) en \(a=\dfrac\pi4\), toutes les dérivées valent \(\pm\dfrac{\sqrt2}{2}\) avec la suite de signes \(+,+,-,\ldots\). Donc \(\sin\left(\dfrac\pi4+h\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}\left(1+h-\dfrac{h^2}{2}\right)+o(h^2)\).
6. Taylor avec reste intégral
Formule de Taylor avec reste intégral
Si \(f\) est de classe \(C^{n+1}\) sur un intervalle contenant \(a\) et \(b\) :
\[ f(b)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\int_a^b\frac{(b-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)\,dt. \]
Si \(|f^{(n+1)}|\le M\) entre \(a\) et \(b\), le reste vérifie l’inégalité de Taylor-Lagrange : \(|R_n|\le M\dfrac{|b-a|^{n+1}}{(n+1)!}\).
Si \(f\) est de classe \(C^{n+1}\) sur un intervalle contenant \(a\) et \(b\) :
\[ f(b)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\int_a^b\frac{(b-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)\,dt. \]
Si \(|f^{(n+1)}|\le M\) entre \(a\) et \(b\), le reste vérifie l’inégalité de Taylor-Lagrange : \(|R_n|\le M\dfrac{|b-a|^{n+1}}{(n+1)!}\).
Contrairement à Taylor-Young, cette version est globale : elle donne une erreur contrôlée pour un \(b\) précis. La preuve se fait par récurrence, en intégrant par parties le reste.
Exemple 8 : approcher \(\sin 0{,}5\)
Avec \(f=\sin\), \(a=0\), \(n=4\) : le polynôme est \(x-\dfrac{x^3}{6}\) et \(|f^{(5)}|\le 1\), donc \(\left|\sin x-\left(x-\dfrac{x^3}{6}\right)\right|\le\dfrac{|x|^5}{120}\). Pour \(x=0{,}5\) : \(0{,}5-\dfrac{0{,}125}{6}=0{,}47916\ldots\) à \(2{,}6\times 10^{-4}\) près.
Avec \(f=\sin\), \(a=0\), \(n=4\) : le polynôme est \(x-\dfrac{x^3}{6}\) et \(|f^{(5)}|\le 1\), donc \(\left|\sin x-\left(x-\dfrac{x^3}{6}\right)\right|\le\dfrac{|x|^5}{120}\). Pour \(x=0{,}5\) : \(0{,}5-\dfrac{0{,}125}{6}=0{,}47916\ldots\) à \(2{,}6\times 10^{-4}\) près.
7. Développements limités
Définition
Un développement limité d’ordre \(n\) en 0 de \(f\) est une écriture \(f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n+o(x^n)\). S’il existe, il est unique, et Taylor-Young donne \(a_k=\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}\).
Un développement limité d’ordre \(n\) en 0 de \(f\) est une écriture \(f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n+o(x^n)\). S’il existe, il est unique, et Taylor-Young donne \(a_k=\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}\).
| Fonction | Développement limité en 0 |
|---|---|
| \(e^x\) | \(1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dots+\dfrac{x^n}{n!}+o(x^n)\) |
| \(\sin x\) | \(x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}-\dots+o(x^{2p+1})\) |
| \(\cos x\) | \(1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}-\dots+o(x^{2p})\) |
| \(\ln(1+x)\) | \(x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dots+(-1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n}+o(x^n)\) |
| \(\dfrac{1}{1-x}\) | \(1+x+x^2+\dots+x^n+o(x^n)\) |
| \((1+x)^\alpha\) | \(1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\dots+o(x^n)\) |
On additionne et multiplie les développements en tronquant à l’ordre voulu ; pour composer, on remplace la variable par un développement qui tend vers 0 ; on peut aussi intégrer terme à terme.
Méthode : calculer un développement limité
1) Choisir l’ordre en repérant le premier terme qui ne s’annule pas. 2) Écrire les développements usuels de chaque facteur à cet ordre. 3) Multiplier ou composer en ne gardant que les puissances \(\le n\). 4) Conclure avec \(o(x^n)\).
1) Choisir l’ordre en repérant le premier terme qui ne s’annule pas. 2) Écrire les développements usuels de chaque facteur à cet ordre. 3) Multiplier ou composer en ne gardant que les puissances \(\le n\). 4) Conclure avec \(o(x^n)\).
Exemple 9 : un produit
\(e^x\sin x=\left(1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}\right)\left(x-\dfrac{x^3}{6}\right)=x+x^2+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)\), car le terme en \(x^3\) vaut \(\dfrac12-\dfrac16=\dfrac13\).
\(e^x\sin x=\left(1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}\right)\left(x-\dfrac{x^3}{6}\right)=x+x^2+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)\), car le terme en \(x^3\) vaut \(\dfrac12-\dfrac16=\dfrac13\).
Exemple 10 : une composée
Pour \(\ln(\cos x)\), on pose \(u=-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}\) : \(\ln(1+u)=u-\dfrac{u^2}{2}+o(x^4)=-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{12}+o(x^4)\).
Pour \(\ln(\cos x)\), on pose \(u=-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}\) : \(\ln(1+u)=u-\dfrac{u^2}{2}+o(x^4)=-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{12}+o(x^4)\).
Astuce de Zyro
Sur ma planète, on lit la parité d’abord : une fonction paire n’a que des puissances paires dans son développement limité, une fonction impaire que des puissances impaires. Cela évite la moitié des calculs !
Sur ma planète, on lit la parité d’abord : une fonction paire n’a que des puissances paires dans son développement limité, une fonction impaire que des puissances impaires. Cela évite la moitié des calculs !
8. La règle de L’Hôpital
Règle de L’Hôpital
Soit \(f,g\) dérivables au voisinage de \(a\) (éventuellement \(a=\pm\infty\)) avec \(g'\neq 0\). Si \(\dfrac{f}{g}\) est une forme indéterminée \(\dfrac00\) ou \(\dfrac\infty\infty\) en \(a\) et si \(\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\to\ell\), alors \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\to\ell\).
Soit \(f,g\) dérivables au voisinage de \(a\) (éventuellement \(a=\pm\infty\)) avec \(g'\neq 0\). Si \(\dfrac{f}{g}\) est une forme indéterminée \(\dfrac00\) ou \(\dfrac\infty\infty\) en \(a\) et si \(\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\to\ell\), alors \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\to\ell\).
Exemple 11 : application répétée
\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}\) : forme \(\frac00\) ; on dérive : \(\dfrac{e^x-1}{2x}\), encore \(\frac00\) ; on dérive : \(\dfrac{e^x}{2}\to\dfrac12\). Ou, avec un développement limité : \(e^x-1-x=\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)\).
\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2}\) : forme \(\frac00\) ; on dérive : \(\dfrac{e^x-1}{2x}\), encore \(\frac00\) ; on dérive : \(\dfrac{e^x}{2}\to\dfrac12\). Ou, avec un développement limité : \(e^x-1-x=\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)\).
Attention
La réciproque est fausse : \(\dfrac{x+\sin x}{x}\to 1\) quand \(x\to+\infty\), alors que le quotient des dérivées \(1+\cos x\) n’a pas de limite. Il faut aussi vérifier que la forme est bien indéterminée avant de dériver.
La réciproque est fausse : \(\dfrac{x+\sin x}{x}\to 1\) quand \(x\to+\infty\), alors que le quotient des dérivées \(1+\cos x\) n’a pas de limite. Il faut aussi vérifier que la forme est bien indéterminée avant de dériver.
À retenir
- \(f\) dérivable en \(a\) \(\Rightarrow\) continue en \(a\), mais pas l’inverse.
- Rolle : \(f(a)=f(b)\) \(\Rightarrow\) \(f'(c)=0\) pour un \(c\) intérieur.
- Accroissements finis : \(f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\) ; si \(|f'|\le M\), \(f\) est \(M\)-lipschitzienne.
- \(f\) convexe \(\iff f''\ge 0\) \(\iff\) courbe au-dessus de ses tangentes.
- Taylor-Young : formule locale avec \(o(h^n)\) ; Taylor reste intégral : formule globale avec erreur majorée.
- Les développements limités usuels s’additionnent, se multiplient, se composent ; ils calculent aussi les limites.
- L’Hôpital : seulement pour une forme indéterminée, et la limite de \(f'/g'\) doit exister.
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