Applications linéaires et matrices : corrigé du contrôle de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Linéarité et matrice / 3 pts

1. (1 pt) Chaque composante est une combinaison linéaire de \(x,y,z\) sans constante : \(g(\lambda u + v) = \lambda g(u) + g(v)\).
2. (1 pt) \(\begin{pmatrix} 1&-1&2 \\ 2&1&-1 \end{pmatrix}\).
3. (1 pt) \(g(1,2,-1) = (1 - 2 - 2,\ 2 + 2 + 1) = (-3, 5)\).

2 Noyau, image, rang / 4 pts

1. (2 pts) \(x + y = 0\) et \(y + z = 0\) donnent \(y = -x\), \(z = x\) ; la troisième ligne \(x + 2y + z = 0\) est alors vérifiée. \(\operatorname{Ker} h = \operatorname{Vect}((1,-1,1))\).
2. (1 pt) \(\operatorname{rg} h = 3 - 1 = 2\).
3. (1 pt) \(C_2 = C_1 + C_3\), donc une base de l’image est \(\big((1,0,1),(0,1,1)\big)\) ; \(h\) n’est ni injective ni surjective, donc pas bijective.

3 Puissances d’une matrice / 3 pts

1. (1 pt) \(A^2 = \begin{pmatrix} 1&2 \\ 0&1 \end{pmatrix}\), \(A^3 = \begin{pmatrix} 1&3 \\ 0&1 \end{pmatrix}\).
2. (1 pt) On conjecture \(A^n = \begin{pmatrix} 1&n \\ 0&1 \end{pmatrix}\). C’est vrai pour \(n=1\) ; si c’est vrai au rang \(n\), \(A^{n+1} = A^nA = \begin{pmatrix} 1&n+1 \\ 0&1 \end{pmatrix}\), d’où le résultat pour tout \(n \geq 1\).
3. (1 pt) \(\det A = 1 \neq 0\) et \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 1&-1 \\ 0&1 \end{pmatrix}\).

4 Inverse et système / 4 pts

1. (3 pts) On échelonne \((Q \mid I)\) : \(L_1 \leftarrow L_1 - L_2\) donne \((1\ 0\ 0 \mid 1\ -1\ 0)\) ; \(L_2 \leftarrow L_2 - L_1\) (nouvelle \(L_1\)) donne \((0\ 1\ 0 \mid -1\ 2\ 0)\) ; \(L_3 \leftarrow L_3 - L_2\) donne \((0\ 0\ 1 \mid 1\ -2\ 1)\). Donc \(Q^{-1} = \begin{pmatrix} 1&-1&0 \\ -1&2&0 \\ 1&-2&1 \end{pmatrix}\).
2. (1 pt) \(X = Q^{-1}(3,2,1) = (3-2,\ -3+4,\ 3-4+1) = (1,1,0)\).

5 Diagonalisation / 3 pts

1. (1 pt) \(Au_1 = (1,0) = u_1\) et \(Au_2 = (3,3) = 3u_2\).
2. (1 pt) \(P^{-1} = \begin{pmatrix} 1&-1 \\ 0&1 \end{pmatrix}\) et \(D = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&3 \end{pmatrix}\).
3. (1 pt) \(A^n = PD^nP^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 3^n \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&-1 \\ 0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3^n - 1 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}\).

6 Système linéaire / 3 pts

(1 pt) \(L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1\) donne \(-3y - z = -2\) et \(L_3 \leftarrow L_3 - L_1\) donne \(2y - 2z = -4\), soit \(y - z = -2\).

(1 pt) Alors \(z = y + 2\) et \(-3y - y - 2 = -2\), donc \(y = 0\), \(z = 2\).

(1 pt) Enfin \(x = 3 - 0 - 2 = 1\). Solution unique : \((1, 0, 2)\), vérifiée dans les trois équations : \(2 + 2 = 4\) et \(1 + 0 - 2 = -1\).