Pour clôturer un jardin, il faut connaître la longueur de son contour : c’est un périmètre. Pour savoir combien de gazon acheter, il faut connaître la surface qu’il recouvre : c’est une aire. Dans ce chapitre, tu apprends à calculer le périmètre d’un cercle, l’aire d’un parallélogramme, d’un triangle et d’un disque, puis à changer d’unité et à découper des figures compliquées.
1. Périmètre et aire : ne pas les confondre
Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour. On l’exprime en unités de longueur : mm, cm, m, km. L’aire d’une figure mesure la place qu’elle occupe sur le plan. On l’exprime en unités d’aire : cm², m², km².
Deux figures peuvent avoir le même périmètre sans avoir la même aire. Un rectangle de \(6\) cm sur \(2\) cm et un carré de \(4\) cm de côté ont tous les deux un périmètre de \(16\) cm, mais leurs aires valent \(12\) cm² et \(16\) cm².
Rectangle de longueur \(L\) et de largeur \(\ell\) : \(\mathcal{P} = 2 \times (L + \ell)\) et \(\mathcal{A} = L \times \ell\).
Carré de côté \(c\) : \(\mathcal{P} = 4 \times c\) et \(\mathcal{A} = c \times c = c^2\).
2. La longueur d’un cercle
Le contour d’un disque s’appelle un cercle. Son rayon \(r\) est la distance entre le centre \(O\) et un point du cercle ; son diamètre \(d\) vaut deux rayons.
La longueur d’un cercle est proportionnelle à son diamètre. Le coefficient de proportionnalité est le nombre \(\pi\) (lu « pi »), dont une valeur approchée est \(3{,}14\).
\[ \mathcal{P} = \pi \times d \qquad \text{ou} \qquad \mathcal{P} = 2 \times \pi \times r \]
Une fontaine ronde a un rayon de \(2{,}5\) m. Son tour mesure \(\mathcal{P} = 2 \times \pi \times 2{,}5 = 5\pi\) m, soit environ \(15{,}7\) m (arrondi au dixième).
Si l’énoncé donne le diamètre, ne le prends pas pour le rayon : utilise \(\pi \times d\), ou calcule d’abord le rayon en divisant par \(2\). Garde aussi \(\pi\) dans le résultat tant qu’on ne te demande pas de valeur approchée.
3. L’aire d’un parallélogramme
Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles. Choisis l’un de ses côtés comme base : la hauteur correspondante est le segment perpendiculaire à la base, mené depuis le côté opposé. Attention, la hauteur n’est pas un côté incliné.
Pour comprendre la formule, découpe le petit triangle de gauche et recolle-le à droite : le parallélogramme devient un rectangle de même base et de même hauteur, donc de même aire.
\[ \mathcal{A} = b \times h \]
où \(b\) est la longueur d’une base et \(h\) la hauteur correspondante, exprimées dans la même unité.
Un parallélogramme a une base de \(8\) cm et la hauteur correspondante mesure \(5\) cm. Son aire est \(\mathcal{A} = 8 \times 5 = 40\) cm².
4. L’aire d’un triangle
Un triangle possède trois bases et trois hauteurs. Une hauteur part d’un sommet et tombe perpendiculairement sur la droite qui porte le côté opposé. Elle peut tomber à l’extérieur du triangle quand celui-ci a un angle obtus.
Deux triangles identiques, assemblés, forment un parallélogramme : l’aire d’un triangle est donc la moitié de celle d’un parallélogramme de même base et de même hauteur.
\[ \mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2} \]
Un triangle a une base de \(12\) cm et la hauteur correspondante mesure \(7\) cm. Son aire vaut \(\mathcal{A} = \dfrac{12 \times 7}{2} = 42\) cm².
- Écris la formule de l’aire avec les données connues.
- Remplace les lettres par les nombres et garde l’inconnue \(h\).
- Résous l’équation : pour un triangle, \(h = \dfrac{2 \times \mathcal{A}}{b}\) ; pour un parallélogramme, \(h = \dfrac{\mathcal{A}}{b}\).
- Termine par une phrase avec l’unité.
5. L’aire d’un disque
Le disque est la surface à l’intérieur du cercle. Son aire dépend du carré du rayon : si tu doubles le rayon, l’aire est multipliée par quatre.
\[ \mathcal{A} = \pi \times r \times r = \pi \times r^2 \]
Le rayon \(r\) est élevé au carré, pas multiplié par deux.
\(\mathcal{A} = \pi \times 6^2 = 36\pi\) cm², soit environ \(113{,}1\) cm² (arrondi au dixième). Le périmètre vaut \(12\pi\) cm, soit environ \(37{,}7\) cm.
Ne confonds pas \(2 \times \pi \times r\) (longueur du cercle) et \(\pi \times r^2\) (aire du disque). La première s’exprime en cm, la seconde en cm². Quand on te donne le diamètre, divise par \(2\) avant d’élever au carré.
6. Conversions d’unités d’aire
Une unité d’aire est le carré construit sur l’unité de longueur correspondante. Comme \(1\) m \(= 10\) dm, un carré de \(1\) m de côté contient \(10 \times 10 = 100\) carrés de \(1\) dm de côté : on a donc \(1\) m² \(= 100\) dm². À chaque unité, on multiplie ou on divise par 100, et non par \(10\).
Dans le tableau de conversion, chaque unité d’aire occupe deux colonnes :
| km² | hm² | dam² | m² | dm² | cm² | mm² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 50 | 00 | ||||
| 4 | 50 | |||||
| 2 | 40 | 00 |
Lignes du tableau : \(3{,}5\) m² \(= 350\) dm² \(= 35\,000\) cm² ; \(4{,}5\) cm² \(= 450\) mm² ; \(2{,}4\) dam² \(= 240\) m².
Pour les terrains, on utilise l’are (\(1\) a \(= 100\) m², un carré de \(10\) m de côté) et l’hectare (\(1\) ha \(= 10\,000\) m², un carré de \(100\) m de côté). On a aussi \(1\) km² \(= 100\) ha.
Sur ma planète, on mesure tout en carreaux de sol ! Pour changer d’unité, je range un chiffre par colonne, mais deux chiffres par unité : jamais un seul. Et si une case reste vide, je la remplis avec un zéro.
\(0{,}3\) m² \(= 30\) dm² \(= 3\,000\) cm². Et \(45\,000\) m² \(= 4{,}5\) ha.
7. Aires de figures composées
Une figure composée se découpe en figures simples (rectangles, triangles, disques ou demi-disques). On peut aussi la voir comme une grande figure dont on a retiré un morceau.
- Repère les figures simples qui composent la figure, en les nommant.
- Vérifie que toutes les longueurs utiles sont connues, sinon déduis-les par des additions ou des soustractions.
- Calcule l’aire de chaque morceau, puis additionne (ou soustrais si tu as retiré un morceau).
- Pour le périmètre, ne compte que les côtés du contour : les segments intérieurs n’en font pas partie.
La façade est un rectangle de \(8\) m sur \(5\) m surmonté d’un triangle de base \(8\) m et de hauteur \(3\) m. Aire : \(8 \times 5 + \dfrac{8 \times 3}{2} = 40 + 12 = 52\) m².
À retenir
- Le périmètre est une longueur (cm, m) ; l’aire se mesure en unités carrées (cm², m²).
- Cercle : \(\mathcal{P} = 2\pi r = \pi d\). Disque : \(\mathcal{A} = \pi r^2\).
- Parallélogramme : \(\mathcal{A} = b \times h\). Triangle : \(\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}\).
- La hauteur est toujours perpendiculaire à la base choisie.
- Entre deux unités d’aire consécutives, on multiplie ou on divise par \(100\) ; \(1\) ha \(= 10\,000\) m².
- Une figure composée se découpe en figures simples dont on additionne (ou soustrait) les aires.
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