Il fait −5 °C au sommet d’une colline, le sous-marin est à −40 m, ton compte en banque est à −12 € : les nombres négatifs sont partout. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à les repérer, à les comparer et à calculer avec eux, avec les quatre opérations, sans jamais te tromper de signe.
1. Les nombres relatifs
Un nombre relatif s’écrit avec un signe (\(+\) ou \(-\)) suivi d’une distance à zéro. Il est positif s’il a le signe \(+\), négatif s’il a le signe \(-\). Le nombre \(0\) n’est ni positif ni négatif. Quand il n’y a pas de signe, le nombre est positif : \(5 = +5\).
Deux nombres relatifs sont opposés s’ils ont la même distance à zéro mais des signes contraires. Par exemple, \(+7\) et \(-7\) sont opposés. L’opposé de \(0\) est \(0\).
Le tableau suivant donne des températures relevées un jour d’hiver. Les nombres négatifs indiquent des températures sous zéro.
| Ville | Matin | Midi | Soir |
|---|---|---|---|
| Brest | \(-3\) | \(2\) | \(-1\) |
| Annecy | \(-8\) | \(-2\) | \(-6\) |
| Nice | \(4\) | \(11\) | \(7\) |
2. Se repérer avec des nombres relatifs
Sur une droite graduée, on choisit une origine \(O\) (le nombre \(0\)), un sens positif (vers la droite) et une unité de longueur. Chaque point a alors un nombre relatif appelé son abscisse. Les points d’abscisses opposées sont symétriques par rapport à l’origine.
Sur la droite ci-dessus, le point \(A\) a pour abscisse \(-4\), le point \(C\) a pour abscisse \(-1\) et le point \(B\) a pour abscisse \(2\). On écrit \(A(-4)\), \(C(-1)\) et \(B(2)\).
Dans un repère orthogonal, un point est repéré par un couple de nombres relatifs : son abscisse (lue sur l’axe horizontal) puis son ordonnée (lue sur l’axe vertical). On écrit \(M(x\,;\,y)\), toujours dans cet ordre.
Pour lire \(B(-2\,;\,3)\), on part de l’origine, on se déplace de \(2\) unités vers la gauche, puis de \(3\) unités vers le haut.
3. Comparer des nombres relatifs
- Tout nombre négatif est plus petit que \(0\), et \(0\) est plus petit que tout nombre positif.
- Deux nombres positifs se rangent comme d’habitude.
- Deux nombres négatifs se rangent dans l’ordre inverse de leurs distances à zéro : le plus grand est celui qui est le plus proche de \(0\).
Range dans l’ordre croissant : \(-3{,}5\) ; \(-3{,}05\) ; \(2\) ; \(-7\) ; \(0\).
Les négatifs sont \(-7\), \(-3{,}5\) et \(-3{,}05\). Leurs distances à zéro sont \(7\), \(3{,}5\) et \(3{,}05\) : l’ordre est inversé. On obtient \(-7 < -3{,}5 < -3{,}05 < 0 < 2\).
On n’écrit pas \(-7 > -3\) sous prétexte que \(7 > 3\). Sur la droite graduée, \(-7\) est plus à gauche que \(-3\) : \(-7 < -3\).
4. Additionner des nombres relatifs
- Même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun.
- Signes contraires : on soustrait la plus petite distance à la plus grande et on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
- Deux nombres opposés ont pour somme \(0\).
La figure montre \(-3 + 5 = 2\) : on part de \(-3\), puis on avance de \(5\) unités vers la droite. Ajouter un positif fait avancer, ajouter un négatif fait reculer.
Calcule \(A = (-8) + (-5)\), \(B = (-9) + (+4)\) et \(C = (+6) + (-6)\).
\(A\) : même signe, \(8 + 5 = 13\), donc \(A = -13\).
\(B\) : signes contraires, \(9 - 4 = 5\) et \(-9\) a la plus grande distance à zéro, donc \(B = -5\).
\(C\) : nombres opposés, donc \(C = 0\).
5. Soustraire des nombres relatifs
Pour tous nombres relatifs \(a\) et \(b\), \(a - b = a + (-b)\).
Calcule \(D = (-4) - (+7)\), \(E = 3 - (-9)\) et \(F = (-5) - (-5)\).
\(D = (-4) + (-7) = -11\).
\(E = 3 + (+9) = 12\).
\(F = (-5) + (+5) = 0\).
La soustraction sert aussi à calculer un écart. La distance entre les points d’abscisses \(-3\) et \(5\) est \(5 - (-3) = 5 + 3 = 8\) : on retranche toujours la plus petite abscisse à la plus grande.
6. Multiplier et diviser : la règle des signes
Le produit (ou le quotient) de deux nombres relatifs a pour signe \(+\) si les deux nombres ont le même signe, et \(-\) s’ils ont des signes contraires. La distance à zéro est le produit (ou le quotient) des distances à zéro.
| \(\times\) ou \(\div\) | facteur positif | facteur négatif |
|---|---|---|
| facteur positif | \(+\) | \(-\) |
| facteur négatif | \(-\) | \(+\) |
Calcule \(G = (-6) \times (+7)\), \(H = (-9) \times (-4)\) et \(I = (-56) \div (-8)\).
\(G\) : signes contraires, donc négatif ; \(6 \times 7 = 42\), donc \(G = -42\).
\(H\) : même signe, donc positif ; \(9 \times 4 = 36\), donc \(H = 36\).
\(I\) : même signe, donc positif ; \(56 \div 8 = 7\), donc \(I = 7\).
Quand tu multiplies plusieurs nombres, compte les facteurs négatifs : si leur nombre est pair, le résultat est positif ; s’il est impair, le résultat est négatif. Calcule le signe en premier !
On ne peut jamais diviser par \(0\), et \(0 \times a = 0\) pour tout nombre \(a\). Ne confonds pas la règle de l’addition (\((-3) + (-4) = -7\)) avec celle de la multiplication (\((-3) \times (-4) = +12\)).
7. Enchaîner les opérations
- Calcule d’abord ce qui est entre parenthèses.
- Effectue ensuite les multiplications et les divisions, de gauche à droite.
- Termine par les additions et les soustractions, de gauche à droite.
- À chaque ligne, recopie ce qui ne change pas et ne fais qu’une étape à la fois.
Calcule \(J = 7 - 3 \times (-4) + (-10) \div 5\).
Les produits et quotients d’abord : \(3 \times (-4) = -12\) et \((-10) \div 5 = -2\).
\(J = 7 - (-12) + (-2) = 7 + 12 - 2 = 17\).
Calcule \(K = (2 - 9) \times (-3) - 4\).
Parenthèses : \(2 - 9 = -7\). Puis \(K = (-7) \times (-3) - 4 = 21 - 4 = 17\).
Une fraction est un quotient : on calcule le numérateur, puis le dénominateur, puis on divise. Par exemple, \(\dfrac{-4 + 10}{2 - 5} = \dfrac{6}{-3} = -2\).
À retenir
- Un nombre relatif a un signe et une distance à zéro ; deux nombres opposés ont la même distance à zéro.
- Sur une droite graduée, on repère un point par son abscisse ; dans un repère, par ses coordonnées (abscisse puis ordonnée).
- Entre deux nombres négatifs, le plus grand est le plus proche de \(0\).
- Additionner : même signe, on additionne les distances ; signes contraires, on les soustrait.
- Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé : \(a - b = a + (-b)\).
- Règle des signes : même signe, résultat positif ; signes contraires, résultat négatif.
- Priorités : parenthèses, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions.
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