Cosinus d’un angle aigu : exercices corrigés de maths 4ème à télécharger en PDF

1 Le bon vocabulaire ★★★

1. L’angle droit est en \(S\), donc l’hypoténuse est \([RT]\). Pour l’angle en \(R\) : le côté adjacent est \([RS]\) (il touche \(R\)) et le côté opposé est \([ST]\).
2. Pour l’angle en \(T\) : l’hypoténuse reste \([RT]\), le côté adjacent est \([ST]\) et le côté opposé est \([RS]\).

2 Écrire un cosinus ★★★

L’hypoténuse est \([MP]\). Pour l’angle en \(M\), le côté adjacent est \([MN]\) : \(\cos \widehat{NMP} = \dfrac{MN}{MP}\).

Pour l’angle en \(P\), le côté adjacent est \([NP]\) : \(\cos \widehat{NPM} = \dfrac{NP}{MP}\).

3 Deux cosinus ★★★

L’hypoténuse est \([AC]\). Pour l’angle en \(A\), le côté adjacent est \([AB]\) : \(\cos \widehat{BAC} = \dfrac{12}{15} = 0{,}8\).

Pour l’angle en \(C\), le côté adjacent est \([BC]\) : \(\cos \widehat{BCA} = \dfrac{9}{15} = 0{,}6\).

4 À la calculatrice ★★★

\(\cos 25^\circ \approx 0{,}9063\) ; \(\cos 45^\circ \approx 0{,}7071\) ; \(\cos 70^\circ \approx 0{,}3420\) ; \(\cos 80^\circ \approx 0{,}1736\).

On remarque que le cosinus diminue quand l’angle augmente.

5 Retrouver un angle ★★★

On utilise la touche \(\cos^{-1}\) : a) \(x = 60^\circ\) ; b) \(x \approx 25{,}84^\circ\), soit \(26^\circ\) au degré près ; c) \(x \approx 75{,}52^\circ\), soit \(76^\circ\) au degré près.

6 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : \(\cos 40^\circ \approx 0{,}766\) et \(\cos 20^\circ \approx 0{,}940\). Quand l’angle grandit, le cosinus diminue.
2. Faux : le cosinus ne dépend que de l’angle. Un agrandissement multiplie tous les côtés par le même nombre, le quotient ne change pas.
3. Faux : c’est le quotient du côté adjacent par l’hypoténuse.
4. Vrai : le côté adjacent est plus court que l’hypoténuse, donc le quotient est entre \(0\) et \(1\).

7 Un angle de 60 degrés ★★★

Pour l’angle en \(B\), \([AB]\) est adjacent et \([BC]\) est l’hypoténuse. Donc \(\cos 60^\circ = \dfrac{AB}{BC}\).

\(AB = BC \times \cos 60^\circ = 10 \times 0{,}5 = 5\) cm.

8 Le côté adjacent ★★★

Dans \(ABC\) rectangle en \(B\), \([AB]\) est adjacent à l’angle en \(A\) et \([AC]\) est l’hypoténuse. Donc \(\cos 35^\circ = \dfrac{AB}{AC}\).

\(AB = 8 \times \cos 35^\circ \approx 6{,}55\) cm.

9 Trouver l’hypoténuse ★★★

\([IH]\) est adjacent à l’angle en \(I\) et \([IJ]\) est l’hypoténuse. Donc \(\cos 62^\circ = \dfrac{IH}{IJ} = \dfrac{4{,}5}{IJ}\).

\(IJ = \dfrac{4{,}5}{\cos 62^\circ} \approx 9{,}59\) cm. Contrôle : \(9{,}59 > 4{,}5\), l’hypoténuse est bien le plus long côté.

10 Calculer un angle ★★★

Pour l’angle en \(E\), \([EF]\) est adjacent et \([EG]\) est l’hypoténuse : \(\cos \widehat{FEG} = \dfrac{7}{9} \approx 0{,}7778\).

Donc \(\widehat{FEG} = \cos^{-1}\!\left(\dfrac{7}{9}\right) \approx 38{,}94^\circ\), soit \(39^\circ\) au degré près.

Les angles aigus sont complémentaires : \(\widehat{EGF} \approx 90^\circ - 38{,}94^\circ = 51{,}06^\circ\), soit \(51^\circ\) au degré près.

11 La rampe d’accès ★★★

La rampe est l’hypoténuse d’un triangle rectangle ; la distance horizontale \(d\) est le côté adjacent à l’angle de \(8^\circ\).

\(\cos 8^\circ = \dfrac{d}{5}\), donc \(d = 5 \times \cos 8^\circ \approx 4{,}95\) m.

La rampe occupe environ \(4{,}95\) m au sol.

12 La charpente ★★★

La poutre est l’hypoténuse ; la largeur \(\ell\) est le côté adjacent à l’angle de \(28^\circ\).

\(\ell = 3{,}8 \times \cos 28^\circ \approx 3{,}36\) m.

La poutre couvre environ \(3{,}36\) m en largeur.

13 L’échelle du jardinier ★★★

Le sol et le mur forment un angle droit. L’échelle est l’hypoténuse, la distance du pied au mur est le côté adjacent à l’angle avec le sol.

\(\cos x = \dfrac{1{,}5}{6} = 0{,}25\), donc \(x = \cos^{-1}(0{,}25) \approx 75{,}52^\circ\).

L’échelle fait un angle d’environ \(76^\circ\) avec le sol.

14 Le cerf-volant ★★★

Le fil est l’hypoténuse, la distance horizontale \(d\) est le côté adjacent à l’angle de \(55^\circ\).

\(d = 40 \times \cos 55^\circ \approx 22{,}94\) m.

La personne est à environ \(22{,}94\) m de l’endroit situé à la verticale du cerf-volant.

15 Le triangle isocèle ★★★

Dans un triangle isocèle, la droite \((AH)\) est la hauteur issue de \(A\) : le triangle \(ABH\) est rectangle en \(H\), avec \(BH = 12 \div 2 = 6\) cm.

Pour l’angle en \(B\), \([BH]\) est adjacent et \([AB]\) est l’hypoténuse : \(\cos \widehat{ABC} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\), donc \(\widehat{ABC} \approx 53{,}13^\circ\), soit \(53^\circ\).

Les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux et la somme des angles vaut \(180^\circ\) : \(\widehat{BAC} \approx 180^\circ - 2 \times 53{,}13^\circ = 73{,}74^\circ\), soit \(74^\circ\).

16 Le côté de l’angle droit ★★★

\([AB]\) est adjacent à l’angle en \(A\) et \([AC]\) est l’hypoténuse : \(\cos 50^\circ = \dfrac{8}{AC}\).

\(AC = \dfrac{8}{\cos 50^\circ} \approx 12{,}45\) cm.

Contrôle : \(12{,}45 > 8\), c’est bien cohérent pour une hypoténuse.

17 Périmètre d’un isocèle ★★★

Soit \(H\) le milieu de \([BC]\) : \(ABH\) est rectangle en \(H\) et \(BH = 14 \div 2 = 7\) cm.

\(\cos 72^\circ = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{7}{AB}\), donc \(AB = \dfrac{7}{\cos 72^\circ} \approx 22{,}65\) cm, soit \(22{,}7\) cm au dixième près.

Périmètre : \(AB + AC + BC = 2 \times 22{,}65 + 14 \approx 59{,}3\) cm (on garde la valeur non arrondie de \(AB\) pour calculer).

18 Trouve l’erreur ★★★

1. \([AB]\) est un côté de l’angle droit alors que \([AC]\) est l’hypoténuse. Un côté de l’angle droit ne peut pas être plus long que l’hypoténuse, or \(13{,}05 > 10\) : le résultat est absurde.
2. L’élève a écrit le quotient à l’envers : le cosinus est \(\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AB}{AC}\). Donc \(\cos 40^\circ = \dfrac{AB}{10}\) et \(AB = 10 \times \cos 40^\circ \approx 7{,}66\) cm.

19 Le rectangle et sa diagonale ★★★

1. \(ABC\) est rectangle en \(B\). \([AB]\) est adjacent à l’angle en \(A\) : \(AB = 15 \times \cos 30^\circ \approx 12{,}99\) cm.
2. Les angles aigus sont complémentaires : \(\widehat{ACB} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Pour cet angle, \([BC]\) est adjacent : \(BC = 15 \times \cos 60^\circ = 15 \times 0{,}5 = 7{,}5\) cm.
3. Aire \(= AB \times BC \approx 12{,}99 \times 7{,}5 \approx 97{,}4\) cm² (valeur calculée sans arrondir \(AB\) : \(97{,}43\)).

20 Deux angles à comparer ★★★

1. D’après le théorème de Pythagore, \(AC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\), donc \(AC = 12\) cm.
2. L’hypoténuse est \([BC]\). \(\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5}{13} \approx 0{,}3846\), donc \(\widehat{ABC} \approx 67{,}38^\circ\), soit \(67^\circ\). Et \(\cos \widehat{ACB} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{12}{13} \approx 0{,}9231\), donc \(\widehat{ACB} \approx 22{,}62^\circ\), soit \(23^\circ\).
3. \(67^\circ + 23^\circ = 90^\circ\) (et \(67{,}38^\circ + 22{,}62^\circ = 90^\circ\) exactement) : les angles aigus sont bien complémentaires.