Racines carrées : exercices corrigés de maths 3ème à télécharger en PDF

1 Carrés à connaître ★★★

\(9^2 = 81\) ; \(13^2 = 169\) ; \(14^2 = 196\) ; \(20^2 = 400\) ; \(0{,}7^2 = 0{,}49\).

2 Racines exactes ★★★

\(\sqrt{144} = 12\) car \(12^2 = 144\) ; \(\sqrt{169} = 13\) ; \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\) car \(0{,}8^2 = 0{,}64\) ; \(\sqrt{900} = 30\) ; \(\sqrt{0} = 0\).

3 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux : une racine carrée est positive, \(\sqrt{49} = 7\).
2. Vrai : \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\) pour \(a \geqslant 0\).
3. Faux : \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\) alors que \(\sqrt{25} = 5\).
4. Faux : \(\sqrt{-16}\) n’existe pas, car un carré n’est jamais négatif.

4 Encadrer et placer ★★★

a) \(16 < 20 < 25\) donc \(4 < \sqrt{20} < 5\) ; \(49 < 50 < 64\) donc \(7 < \sqrt{50} < 8\) ; \(100 < 115 < 121\) donc \(10 < \sqrt{115} < 11\).

b) \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\), \(\sqrt{5} \approx 2{,}24\) et \(\sqrt{10} \approx 3{,}16\) :

5 Côté d’un carré ★★★

Le côté d’un carré d’aire \(a\) est \(\sqrt{a}\). Pour \(81\) cm² : \(\sqrt{81} = 9\) cm.

Pour \(30\) cm² : le côté vaut \(\sqrt{30}\) cm, soit environ \(5{,}48\) cm (arrondi au centième).

6 Carré d’une racine ★★★

\(A = 11\) car \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\) ; \(B = 8\) car \(\sqrt{a^2} = a\) ; \(C = 6 + 1 = 7\).

7 Premières équations ★★★

a) \(49 > 0\) : deux solutions, \(7\) et \(-7\).

b) \(0{,}16 > 0\) : deux solutions, \(0{,}4\) et \(-0{,}4\).

c) \(-4 < 0\) : l’équation n’a aucune solution, car un carré n’est jamais négatif.

8 Produits de racines ★★★

\(\sqrt{5} \times \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10\) ; \(\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4\) ; \(\sqrt{3} \times \sqrt{27} = \sqrt{81} = 9\).

9 Quotients de racines ★★★

\(\dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} = \sqrt{9} = 3\) ; \(\sqrt{\dfrac{121}{9}} = \dfrac{11}{3}\) ; \(\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{36} = 6\).

10 Simplifier ★★★

\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\) ; \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\) ; \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt{2}\) ; \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}\) ; \(\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}\).

11 Rentrer sous la racine ★★★

On utilise \(a = \sqrt{a^2}\) : \(3\sqrt{7} = \sqrt{9 \times 7} = \sqrt{63}\) ; \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{50}\) ; \(2\sqrt{10} = \sqrt{4 \times 10} = \sqrt{40}\) ; \(10\sqrt{3} = \sqrt{100 \times 3} = \sqrt{300}\).

12 Réduire des sommes ★★★

\(A = (3 + 4 - 2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}\).

\(B = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\) car \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) et \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\).

\(C = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\) car \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) et \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).

13 Équations à transformer ★★★

a) \(x^2 = 48 \div 3 = 16\), donc \(x = 4\) ou \(x = -4\).

b) \(x^2 = 18 + 7 = 25\), donc \(x = 5\) ou \(x = -5\).

c) \(10 > 0\), donc \(x = \sqrt{10}\) ou \(x = -\sqrt{10}\) (environ \(\pm 3{,}16\)).

14 Le jardin carré ★★★

Le côté vaut \(\sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5}\) m, soit environ \(13{,}42\) m.

Le périmètre vaut \(4 \times 6\sqrt{5} = 24\sqrt{5} \approx 53{,}67\) m.

Il faut environ \(53{,}67\) m de grillage.

15 Développer avec des racines ★★★

\(A = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}\).

\(B = \left(\sqrt{5}\right)^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4\).

\(C = 3^2 \times \left(\sqrt{2}\right)^2 = 9 \times 2 = 18\).

\(D = 7 - 4\sqrt{7} + 4 = 11 - 4\sqrt{7}\).

16 Vrai ou faux justifié ★★★

1. Faux. Contre-exemple avec \(a = 9\) et \(b = 16\) : \(\sqrt{25} = 5\) alors que \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7\).
2. Faux : \((-3)^2 = 9\) et \(\sqrt{9} = 3\), un nombre positif. L’égalité \(\sqrt{a^2} = a\) n’est vraie que pour \(a \geqslant 0\).
3. Vrai : \(\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5\).

17 Pythagore et racines ★★★

\(ABC\) est rectangle en \(A\), donc d’après le théorème de Pythagore, \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).

\(AB^2 = \left(2\sqrt{3}\right)^2 = 4 \times 3 = 12\) et \(AC^2 = \left(3\sqrt{2}\right)^2 = 9 \times 2 = 18\).

\(BC^2 = 12 + 18 = 30\), donc \(BC = \sqrt{30} \approx 5{,}48\) cm.

18 Compter des entiers ★★★

Comme \(6 = \sqrt{36}\) et \(7 = \sqrt{49}\), la condition s’écrit \(\sqrt{36} < \sqrt{n} < \sqrt{49}\), soit \(36 < n < 49\).

Les entiers sont \(37, 38, \dots, 48\) : il y en a \(48 - 37 + 1 = 12\). Le plus petit est \(37\), le plus grand \(48\).

19 Quotients simplifiés ★★★

\(A = \sqrt{\dfrac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4\).

\(B = \dfrac{5\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 7\).

\(C = 5 \times \sqrt{\dfrac{8}{2}} = 5 \times \sqrt{4} = 5 \times 2 = 10\).

20 Le disque ★★★

\(\pi r^2 = 50\pi\), donc \(r^2 = 50\). Le rayon est positif : \(r = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\) cm.

\(5\sqrt{2} \approx 7{,}07\) cm, soit environ \(7{,}1\) cm au millimètre près.