Géométrie dans l'espace : exercices de maths 2de à télécharger en PDF

1 Vocabulaire du pavé droit ★★★

Un pavé droit \(ABCDEFGH\) a pour base \(ABCD\), et \(E, F, G, H\) sont au-dessus de \(A, B, C, D\).

1. Combien a-t-il de faces, d’arêtes et de sommets ?
2. Cite les trois arêtes parallèles à \([AB]\) autres que \([AB]\).
3. Quelle est la face opposée à la face \(ABFE\) ?

2 Volume et aire d’un pavé ★★★

Une boîte à chaussures est un pavé droit de \(8\) cm de large, \(5\) cm de profondeur et \(3\) cm de haut. Calcule son volume puis l’aire totale de ses faces.

3 Un dé géant ★★★

Un dé cubique en mousse a une arête de \(7\) cm. Calcule son volume en \(\text{cm}^3\), puis en litres, et l’aire de toutes ses faces.

4 Une boîte de conserve ★★★

Une boîte de conserve est un cylindre de rayon \(3\) cm et de hauteur \(10\) cm. Donne son volume exact, puis arrondi au \(\text{cm}^3\) près (\(\pi \approx 3{,}14159\)).

5 Un aquarium rempli aux trois quarts ★★★

Un aquarium a la forme d’un pavé droit de \(80\) cm de long, \(35\) cm de large et \(40\) cm de haut. Quelle est sa capacité en litres ? Combien de litres d’eau contient-il s’il est rempli aux \(\dfrac{3}{4}\) ?

6 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie.

1. Un cube est un pavé droit.
2. Deux droites de l’espace qui n’ont aucun point commun sont forcément parallèles.
3. Par trois points non alignés, il passe un unique plan.
4. Une pyramide à base carrée possède \(8\) arêtes.

7 Quel est ce solide ? ★★★

Identifie chaque solide.

1. Il a deux disques parallèles et de même rayon, reliés par une surface courbe.
2. Il a un seul sommet et une base en forme de disque.
3. Il n’a ni arête ni sommet, et tous ses points de surface sont à la même distance du centre.
4. Il a \(5\) faces : \(2\) triangles et \(3\) rectangles.

8 Prisme à base triangulaire ★★★

Un prisme droit a pour base un triangle rectangle de côtés \(3\) cm, \(4\) cm et \(5\) cm, et pour hauteur \(10\) cm. Calcule son volume, son aire latérale et son aire totale.

9 Une pyramide de verre ★★★

Une pyramide en verre a pour base un carré de côté \(6\) cm et pour hauteur \(7\) cm. Calcule son volume.

10 Un cône de révolution ★★★

Un cône de révolution a pour rayon de base \(5\) cm. Une génératrice (segment du sommet à un point du cercle de base) mesure \(13\) cm. Calcule la hauteur du cône, puis son volume exact et arrondi au centième.

11 Ballon et sphère ★★★

Un ballon est assimilé à une boule de rayon \(6\) cm. Calcule son volume exact puis arrondi au centième, et l’aire de sa surface (valeur exacte et arrondi).

12 Une boule dans une boîte cubique ★★★

Une boule de rayon \(3\) cm est enfermée dans une boîte cubique d’arête \(6\) cm. Quelle fraction du volume de la boîte occupe-t-elle ? Donne le pourcentage arrondi au dixième.

13 Section d’un cube par le plan (ACG) ★★★

Dans tout le chapitre, le cube ou pavé \(ABCDEFGH\) a pour base \(ABCD\) ; les points \(E, F, G, H\) sont situés au-dessus de \(A, B, C, D\). L’arête mesure \(4\) cm. On coupe le cube par le plan \((ACG)\).

1. Quelle est la nature de la section ?
2. Calcule son aire exacte, puis arrondie au centième.

14 Positions relatives dans le cube ★★★

Dans tout le chapitre, le cube ou pavé \(ABCDEFGH\) a pour base \(ABCD\) ; les points \(E, F, G, H\) sont situés au-dessus de \(A, B, C, D\).

1. Donne la position relative de \((AB)\) et \((HG)\) ; de \((AB)\) et \((CG)\) ; de \((AC)\) et \((BD)\) ; de \((AE)\) et \((BC)\).
2. Donne la position relative de la droite \((EF)\) et du plan \((ABCD)\) ; de \((AE)\) et de \((ABCD)\) ; de \((AC)\) et de \((EFGH)\).
3. Les plans \((ABF)\) et \((DCG)\) sont-ils parallèles ? Les plans \((ABF)\) et \((ABCD)\) ?

15 Dessin en perspective cavalière ★★★

On dessine un pavé de \(6\) cm de large, \(4\) cm de profondeur et \(3\) cm de haut en perspective cavalière, avec un angle de fuite de \(30^\circ\) et un coefficient \(k = \dfrac{1}{2}\), la face avant étant la face frontale.

1. Quelles sont les longueurs, sur le dessin, des arêtes de la face avant ?
2. Quelle longueur dessine-t-on pour une arête fuyante ?
3. Sur un autre dessin avec le même coefficient, une fuyante mesure \(3{,}5\) cm. Quelle est sa longueur réelle ?

16 Réduire une pyramide ★★★

Une pyramide \(SABCD\) a pour base un carré de côté \(9\) cm et pour hauteur \(12\) cm. On la coupe par un plan parallèle à la base, situé à \(4\) cm du sommet.

1. Quel est le rapport de réduction \(k\) ? Quelle est la nature de la section et son côté ?
2. Calcule le volume de la pyramide \(SABCD\), puis celui de la petite pyramide.
3. Vérifie le lien entre ces volumes et \(k\), puis déduis le volume du « tronc » restant.

17 Section d’un cône ★★★

Un cône de révolution a pour rayon \(6\) cm et pour hauteur \(8\) cm. Un plan parallèle à sa base le coupe à \(2\) cm de son sommet.

1. Détermine la nature et le rayon de la section.
2. Calcule l’aire de cette section.
3. Calcule le volume du petit cône, puis du grand. Quel est leur rapport ?

18 Un verre conique à moitié rempli ★★★

Un verre a la forme d’un cône de révolution de rayon \(4\) cm et de hauteur \(12\) cm (pointe vers le bas). On le remplit jusqu’à la moitié de sa hauteur.

1. Calcule la capacité totale du verre en \(\text{cm}^3\) (valeur exacte et arrondie).
2. Quelle fraction du volume le liquide occupe-t-il ? Déduis son volume en mL, arrondi au dixième.

19 Boule et cylindre circonscrit ★★★

Une boule de rayon \(r\) est enfermée dans un cylindre de même rayon \(r\) et de hauteur \(2r\), qu’elle touche.

1. Exprime le volume de la boule et celui du cylindre en fonction de \(r\).
2. Montre que le rapport de ces volumes ne dépend pas de \(r\).
3. Calcule ces deux volumes pour \(r = 5\) cm (valeurs approchées au centième).

20 Une droite parallèle à un plan ★★★

Dans tout le chapitre, le cube ou pavé \(ABCDEFGH\) a pour base \(ABCD\) ; les points \(E, F, G, H\) sont situés au-dessus de \(A, B, C, D\). Le point \(I\) est le milieu de \([EF]\) et \(J\) le milieu de \([EH]\). Démontre que la droite \((IJ)\) est parallèle au plan \((ABCD)\).

21 Intersection de deux plans ★★★

Dans tout le chapitre, le cube ou pavé \(ABCDEFGH\) a pour base \(ABCD\) ; les points \(E, F, G, H\) sont situés au-dessus de \(A, B, C, D\).

1. Montre que le point \(H\) appartient au plan \((ABG)\).
2. Détermine l’intersection des plans \((ABG)\) et \((DCG)\).
3. Les plans \((ABF)\) et \((DCG)\) sont parallèles. Que peux-tu dire des droites \((AB)\) et \((GH)\) ?

22 Un silo à grains ★★★

Un silo est formé d’un cylindre de rayon \(2\) m et de hauteur \(5\) m, surmonté d’une demi-boule de même rayon. Calcule son volume exact, puis arrondi au centième de \(\text{m}^3\).