Variables aléatoires : exercices de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Compléter une loi ★★★

Une variable aléatoire \(X\) prend les valeurs \(1\), \(2\), \(3\) et \(4\) avec \(P(X=1) = 0{,}1\), \(P(X=2) = 0{,}35\) et \(P(X=4) = 0{,}25\).

1. Calcule \(P(X=3)\).
2. Calcule \(P(X \geqslant 3)\).

2 Les pannes du distributeur ★★★

Le nombre \(X\) de pannes d’un distributeur de boissons en un mois a pour loi : \(P(X=0) = 0{,}2\), \(P(X=1) = 0{,}4\), \(P(X=2) = 0{,}3\), \(P(X=3) = 0{,}1\). Calcule l’espérance de \(X\) et interprète le résultat.

3 Bernoulli ou pas ? ★★★

Pour chaque expérience, dis si c’est une épreuve de Bernoulli. Si oui, donne le succès et son paramètre \(p\).

1. On tire une carte dans un jeu de 32 cartes et on regarde si c’est un as.
2. On lance un dé à six faces et on note le nombre obtenu.
3. On interroge un élève et on regarde s’il est gaucher (10 % des élèves le sont).

4 Coefficients binomiaux ★★★

À l’aide du triangle de Pascal, donne \(\dbinom{6}{0}\), \(\dbinom{7}{1}\), \(\dbinom{6}{2}\), \(\dbinom{6}{4}\) et \(\dbinom{5}{3}\).

5 Une petite loi binomiale ★★★

La variable \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(3\,;\,0{,}2)\). Détermine la loi de \(X\) et vérifie que la somme des probabilités vaut \(1\).

6 Espérance et variance binomiales ★★★

\(X\) suit \(\mathcal{B}(20\,;\,0{,}35)\). Calcule \(E(X)\), \(V(X)\) puis une valeur approchée de \(\sigma(X)\) au centième.

7 Un jeu de dé ★★★

Pour participer à un jeu, on mise \(4\) €, puis on lance un dé équilibré à six faces. Si on obtient \(6\), on reçoit \(15\) € ; si on obtient \(4\) ou \(5\), on récupère sa mise (\(4\) €) ; sinon on ne reçoit rien. Soit \(G\) le gain algébrique du joueur (somme reçue moins la mise).

1. Donne la loi de \(G\).
2. Calcule \(E(G)\). Le jeu est-il favorable au joueur ?
3. Si les sommes reçues restent \(15\) €, \(4\) € et \(0\) €, quelle mise rendrait le jeu équitable ?

8 Deux formules pour la variance ★★★

La variable \(X\) prend les valeurs \(-2\), \(0\), \(1\) et \(4\) avec les probabilités \(0{,}1\), \(0{,}3\), \(0{,}4\) et \(0{,}2\).

1. Calcule \(E(X)\).
2. Calcule \(V(X)\) avec la définition \(\sum p_i (x_i - E(X))^2\).
3. Retrouve \(V(X)\) avec \(E(X^2) - E(X)^2\), puis donne \(\sigma(X)\) au centième.

9 Degrés Celsius et Fahrenheit ★★★

La température \(X\) (en °C) de l’eau d’une piscine à midi a pour espérance \(24\) et pour variance \(2{,}25\). On convertit en degrés Fahrenheit avec \(Y = 1{,}8X + 32\). Calcule \(E(Y)\), \(V(Y)\) et \(\sigma(Y)\).

10 Trois tirs au panier ★★★

Une joueuse réussit chaque lancer franc avec la probabilité \(0{,}7\), les lancers étant indépendants. Elle en tente 3. Soit \(X\) le nombre de paniers réussis.

1. Quelle est la loi de \(X\) ?
2. Calcule \(P(X = 2)\) et \(P(X = 3)\).
3. Calcule la probabilité de réussir au moins un panier.

11 Le contrôle qualité ★★★

Dans une usine, 5 % des pièces produites sont défectueuses. On prélève 8 pièces, assez nombreuses pour assimiler le prélèvement à des tirages indépendants. Soit \(X\) le nombre de pièces défectueuses.

1. Donne la loi de \(X\).
2. Calcule la probabilité qu’aucune pièce ne soit défectueuse, puis celle qu’il y en ait au moins une (arrondis au millième).
3. Calcule \(P(X=2)\) au millième.

12 Vrai ou faux ? ★★★

\(X\) suit la loi \(\mathcal{B}(10\,;\,0{,}2)\). Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifie.

1. \(E(X) = 2\).
2. \(V(X) = 2\).
3. \(P(X = 10) = 0{,}2^{10}\).
4. \(P(X=1) = 10 \times 0{,}2 \times 0{,}8^9\).
5. On tire sans remise 3 cartes dans un jeu de 32 ; le nombre de rois obtenus suit \(\mathcal{B}(3\,;\,\frac{1}{8})\).

13 Pascal en action ★★★

1. Retrouve \(\dbinom{7}{3}\) à partir de \(\dbinom{6}{2}\) et \(\dbinom{6}{3}\).
2. Montre que \(\dbinom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}\) pour \(n \geqslant 2\) en comptant les couples d’emplacements.
3. Détermine l’entier \(n\) tel que \(\dbinom{n}{2} = 45\).

14 Quiz au hasard ★★★

Un quiz comporte 12 questions à 4 réponses dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard à chaque question. Soit \(X\) le nombre de bonnes réponses.

1. Justifie que \(X\) suit une loi binomiale et précise ses paramètres.
2. Calcule \(P(X=3)\) au dix-millième.
3. Calcule \(E(X)\) et \(\sigma(X)\).
4. La calculatrice donne \(P(X \leqslant 5) \approx 0{,}9456\). En déduis la probabilité d’avoir au moins 6 bonnes réponses.

15 Combien d’essais ? ★★★

Dans des paquets de céréales, une figurine rare se trouve dans un paquet sur cinq (\(p = 0{,}2\)), indépendamment d’un paquet à l’autre. Combien de paquets faut-il acheter au minimum pour que la probabilité d’obtenir au moins une figurine rare dépasse \(0{,}99\) ?

16 Fluctuation sur 50 tirages ★★★

Une urne contient 30 % de boules rouges. On effectue 50 tirages avec remise ; \(X\) suit \(\mathcal{B}(50\,;\,0{,}3)\). La calculatrice donne :

Détermine les entiers \(a\) et \(b\) puis l’intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence de boules rouges.

17 Le sondage de l’application ★★★

Une application affirme que 40 % de ses utilisateurs ouvrent la notification du jour. Pour vérifier, on interroge 100 utilisateurs tirés au hasard. Si l’affirmation est vraie, le nombre \(X\) d’ouvertures suit \(\mathcal{B}(100\,;\,0{,}4)\) et on admet que l’intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence est \([0{,}31\,;\,0{,}50]\).

1. Sur l’échantillon, 56 utilisateurs ont ouvert la notification. Que conclure ?
2. Si on avait observé 47 ouvertures, que conclurait-on ?

18 Retrouver une loi ★★★

La variable \(X\) prend les valeurs \(-1\), \(0\) et \(2\). On sait que \(P(X=0) = 0{,}5\) et que \(E(X) = 0{,}7\).

1. Détermine \(P(X=-1)\) et \(P(X=2)\).
2. Calcule \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).

19 Retrouver les paramètres ★★★

La variable \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\) avec \(E(X) = 12\) et \(V(X) = 7{,}2\).

1. Détermine \(n\) et \(p\).
2. Calcule \(P(X = 12)\) au dix-millième.

20 Le jeu des boules rouges ★★★

Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules noires. On tire 5 fois une boule en la remettant à chaque fois. Soit \(X\) le nombre de boules rouges. Chaque boule rouge rapporte \(4\) €, et la participation coûte \(5\) € : le gain est \(G = 4X - 5\).

1. Donne la loi de \(X\) puis calcule \(P(X=2)\) au dix-millième.
2. Calcule \(E(G)\), \(V(G)\) et \(\sigma(G)\) au centième.
3. Calcule la probabilité de réaliser un gain strictement positif.