Produit scalaire : cours de maths 1ère

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Cours de maths en 1ère : Produit scalaire — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Quand tu pousses un chariot, ce n’est pas toute ta force qui le fait avancer, mais seulement la part qui va dans le sens du mouvement. Le produit scalaire mesure exactement cela : il transforme deux vecteurs en un nombre qui dit s’ils vont dans le même sens, dans des sens opposés ou à angle droit. C’est l’outil de la géométrie de Première pour calculer des angles, des longueurs et démontrer des perpendicularités.

Sommaire

1. Définitions du produit scalaire

Norme d’un vecteur

La norme du vecteur \(\overrightarrow{AB}\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\|\), est la longueur \(AB\). Un vecteur de norme \(1\) est dit unitaire.

Produit scalaire

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non nuls. Leur produit scalaire est le nombre \[ \vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) \] où \((\widehat{\vec{u},\vec{v}})\) est l’angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) lorsqu’on les trace avec la même origine. Si l’un des vecteurs est nul, le produit scalaire vaut \(0\).

Sur la figure, \(\|\vec{u}\| = 4\), \(\|\vec{v}\| = 3\) et l’angle vaut \(60^\circ\). Donc \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 4 \times 3 \times \cos 60^\circ = 12 \times \dfrac{1}{2} = 6\).

Le signe du résultat suit celui du cosinus : positif si l’angle est aigu, nul s’il est droit, négatif s’il est obtus. Deux cas particuliers sont à connaître : si les vecteurs ont la même direction et le même sens, \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\) ; s’ils sont de sens contraires, \(\vec{u}\cdot\vec{v} = -\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\).

Carré scalaire et formule de polarisation

\(\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2\), que l’on note aussi \(\vec{u}^{\,2}\). De plus, pour tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) : \[ \vec{u}\cdot\vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right). \]

Exemple 1

On sait que \(\|\vec{u}\| = 3\), \(\|\vec{v}\| = 5\) et \(\|\vec{u}+\vec{v}\| = 7\). Alors \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \dfrac{1}{2}(49 - 9 - 25) = \dfrac{15}{2}\). On en déduit \(\cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) = \dfrac{15/2}{15} = \dfrac{1}{2}\), donc l’angle vaut \(60^\circ\).

2. Projeté orthogonal

Soit \(A\), \(B\), \(C\) trois points avec \(A \neq B\). On note \(H\) le projeté orthogonal de \(C\) sur la droite \((AB)\) : c’est le pied de la perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(C\).

Calcul avec le projeté orthogonal

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}\). Ce produit vaut \(+AB\times AH\) si \(H\) est du même côté de \(A\) que \(B\), et \(-AB\times AH\) sinon.

Pourquoi ? Dans le triangle \(AHC\) rectangle en \(H\), on a \(AH = AC\cos\widehat{A}\) quand l’angle en \(A\) est aigu, et c’est exactement ce qui apparaît dans la définition.

Exemple 2

Sur la figure, \(AB = 5\) et \(AH = 3\), avec \(H\) sur la demi-droite \([AB)\). Donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 5 \times 3 = 15\). Si \(H\) avait été de l’autre côté de \(A\), on aurait trouvé \(-15\).

Astuce de Zyro

Imagine que le soleil est exactement au-dessus : l’ombre de \(C\) sur la droite \((AB)\) est le point \(H\). Pour un produit scalaire, remplace toujours le deuxième vecteur par son ombre, c’est plus simple !

3. Expression analytique

Dans un repère orthonormé, la définition géométrique laisse place à un calcul sans angle.

Expression analytique

Si \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\), alors \[ \vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy' \qquad\text{et}\qquad \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}. \]

Exemple 3

Pour \(\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}\) : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\times4 + (-2)\times5 = 12 - 10 = 2\). Et \(\|\vec{u}\| = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}\).

4. Bilinéarité et symétrie

Propriétés

Pour tous vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) et tout réel \(k\) :

symétrie : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\) ;
bilinéarité : \(\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w}\) et \((k\vec{u})\cdot\vec{v} = k\,(\vec{u}\cdot\vec{v})\).

Ces règles permettent de développer comme avec des nombres. On obtient les identités remarquables :

\[ \|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2 \qquad \|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2 \]

\[ (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 \]

Piège

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre, pas un vecteur. Écrire \(\vec{u}\cdot\vec{v}\cdot\vec{w}\) n’a aucun sens, et \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\) n’implique pas que l’un des vecteurs soit nul.

5. Orthogonalité

Critère d’orthogonalité

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\). En particulier, les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont perpendiculaires si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} = 0\).

Sur la figure, \(\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}\) vérifient \(3\times(-2) + 2\times3 = 0\) : ils sont orthogonaux, et on le voit bien sur le repère.

Méthode : démontrer qu’un triangle est rectangle

Calcule les coordonnées de deux vecteurs partant du même sommet.
Calcule leur produit scalaire.
S’il vaut \(0\), le triangle est rectangle en ce sommet ; sinon, essaie un autre sommet.

6. Formule d’Al-Kashi

Formule d’Al-Kashi

Dans un triangle \(ABC\), avec \(a = BC\), \(b = AC\) et \(c = AB\) : \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}. \]

Démonstration. Comme \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\), on a \(BC^2 = \|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\|^2 = AC^2 - 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + AB^2\), et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB\times AC\times\cos\widehat{A}\).

Quand l’angle \(\widehat{A}\) est droit, le cosinus est nul et on retrouve le théorème de Pythagore : Al-Kashi en est une généralisation.

Exemple 4

Dans \(ABC\), \(AB = 5\), \(AC = 8\) et \(\widehat{A} = 60^\circ\). Alors \(BC^2 = 25 + 64 - 2\times5\times8\times\dfrac{1}{2} = 49\), donc \(BC = 7\).

7. Théorème de la médiane

Théorème de la médiane

Soit \(A\), \(B\), \(C\) trois points et \(I\) le milieu de \([BC]\). Alors \[ AB^2 + AC^2 = 2\,AI^2 + \dfrac{BC^2}{2}, \qquad\text{soit}\qquad AI^2 = \dfrac{AB^2 + AC^2}{2} - \dfrac{BC^2}{4}. \]

Démonstration. On écrit \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}\) et \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{IB}\). En élevant au carré et en additionnant, les doubles produits s’annulent : \(AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + 2IB^2\), et \(IB = \dfrac{BC}{2}\).

Exemple 5

Avec \(AB = 6\), \(AC = 10\) et \(BC = 8\) : \(AI^2 = \dfrac{36+100}{2} - \dfrac{64}{4} = 68 - 16 = 52\), donc \(AI = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7{,}21\).

8. Calculs d’angles et de longueurs

Le produit scalaire sert à passer d’une information à l’autre. La formule \(\cos\widehat{A} = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}\) donne l’angle dès que l’on sait calculer le produit scalaire autrement, par exemple avec des coordonnées.

Exemple 6

Avec \(A(1\,;\,1)\), \(B(4\,;\,2)\), \(C(2\,;\,5)\) : \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\), donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 3 + 4 = 7\). Or \(AB = \sqrt{10}\) et \(AC = \sqrt{17}\).

Ainsi \(\cos\widehat{A} = \dfrac{7}{\sqrt{170}} \approx 0{,}537\), puis \(\widehat{A} \approx 57{,}5^\circ\) à la calculatrice (mode degrés).

Pour une longueur, on utilise Al-Kashi si l’on connaît deux côtés et l’angle compris, la médiane si l’on cherche une médiane, ou encore l’égalité \(AB^2 = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}\).

Méthode : choisir la bonne formule

Repère ce que l’on connaît : angle, longueurs, coordonnées.
Si les coordonnées sont données, utilise \(xx' + yy'\).
Si l’on connaît deux côtés et leur angle, utilise la définition ou Al-Kashi.
Pour un angle, isole le cosinus et utilise la touche \(\cos^{-1}\).

À retenir

\(\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})\) : le résultat est un nombre.
\(\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2\) et \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \dfrac{1}{2}(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2)\).
Avec le projeté orthogonal : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}\).
En repère orthonormé : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy'\).
Symétrie et bilinéarité permettent de développer comme avec des réels.
\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\).
Al-Kashi : \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}\) ; médiane : \(AI^2 = \dfrac{AB^2+AC^2}{2} - \dfrac{BC^2}{4}\).