Produit scalaire : corrigé du contrôle de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Calculs en coordonnées / 3 pts

1. \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 15 - 14 = 1\) (1 pt).
2. \(\vec{u}\cdot\vec{w} = 20 - 20 = 0\) : ils sont orthogonaux (1 pt).
3. \(\|\vec{u}\| = \sqrt{25+4} = \sqrt{29}\) (1 pt).

2 Projeté orthogonal / 3 pts

1. Le projeté de \(C\) sur \((AB)\) est \(B\) : \(AB^2 = 81\) (1 pt).
2. Le projeté de \(C\) sur \((AD)\) est \(D\) : \(AD^2 = 16\) (1 pt).
3. \(\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}\), donc \(-81\) (1 pt).

3 Définition et Al-Kashi / 3 pts

1. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 4\times6\times\cos60^\circ = 12\) (1 pt).
2. \(BC^2 = 16 + 36 - 2\times12 = 28\) (1 pt), donc \(BC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\) (1 pt).

4 Médiane / 4 pts

1. \(AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \dfrac{BC^2}{2}\) (1 pt).
2. \(AI^2 = \dfrac{25+81}{2} - \dfrac{64}{4} = 53 - 16 = 37\) (2 pts), donc \(AI = \sqrt{37}\).
3. \(AI \approx 6{,}08\) (1 pt).

5 Angle dans un repère / 4 pts

1. \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\), donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 8 + 3 = 11\) (1 pt).
2. \(AB = \sqrt{17}\) et \(AC = \sqrt{13}\) (1 pt).
3. \(\cos\widehat{A} = \dfrac{11}{\sqrt{221}}\) (1 pt).
4. \(\widehat{A} \approx 42{,}3^\circ\) (1 pt).

6 Angle d’un triangle / 3 pts

Al-Kashi : \(36 = 16 + 25 - 2\times4\times5\cos\theta\) (1 pt).

Donc \(\cos\theta = \dfrac{5}{40} = \dfrac{1}{8}\) (1 pt), et \(\theta \approx 82{,}8^\circ\) (1 pt).