Probabilités conditionnelles : exercices de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Lire un tableau croisé ★★★

Dans un lycée, on interroge 150 élèves et on relève le sport pratiqué en club (\(S\)) selon le sexe. On choisit un élève au hasard.

1. Calculer \(P(G)\), \(P(S)\) et \(P(G\cap S)\).
2. Calculer \(P_G(S)\) et \(P_S(G)\). Interpréter chaque résultat par une phrase.

2 Appliquer la définition ★★★

Soit \(A\) et \(B\) deux événements avec \(P(A)=0{,}5\), \(P(B)=0{,}25\) et \(P(A\cap B)=0{,}2\).

1. Calculer \(P_A(B)\).
2. Calculer \(P_B(A)\).

3 Vrai ou faux ? ★★★

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant (un contre-exemple suffit pour une affirmation fausse).

1. Si \(P_A(B)=0{,}3\), alors \(P_A(\overline{B})=0{,}7\).
2. On a toujours \(P_A(B)=P_B(A)\).
3. Si \(P(A)>0\) et \(P(A\cap B)=0\), alors \(P_A(B)=0\).
4. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont indépendants.

4 Un arbre à compléter ★★★

Un sac contient 10 jetons : 4 bleus et 6 oranges. On tire successivement deux jetons sans remise. On note \(B_i\) (resp. \(O_i\)) l’événement « le i-ème jeton est bleu (resp. orange) ».

1. Recopier et compléter l’arbre.
2. Calculer la probabilité de tirer deux jetons oranges.

5 Calculer une intersection ★★★

35 % des utilisateurs d’une application de lecture ont activé les rappels (\(R\)). Parmi eux, 60 % terminent leur livre du mois (\(F\)).

1. Traduire les données avec des probabilités.
2. Calculer \(P(R\cap F)\) et \(P(R\cap\overline{F})\).

6 Un dé et l’indépendance ★★★

On lance un dé équilibré à 6 faces. \(A\) : « le résultat est pair » ; \(B\) : « le résultat est au moins 4 ».

1. Calculer \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(A\cap B)\).
2. Calculer \(P_A(B)\).
3. \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?

7 Reconnaître une partition ★★★

On lance un dé équilibré à 6 faces. Dire, pour chaque famille, si elle forme une partition de l’univers \(\{1;2;3;4;5;6\}\).

1. \(\{1;2\}\), \(\{3;4\}\), \(\{5;6\}\)
2. \(\{1;2;3\}\), \(\{3;4;5;6\}\)
3. \(\{1;2\}\), \(\{4;5;6\}\)
4. \(\{\text{pair}\}\), \(\{\text{impair}\}\)

8 Contrôle qualité ★★★

Un atelier fabrique des gourdes avec deux machines. La machine \(X\) produit 55 % des gourdes et la machine \(Y\) le reste. 4 % des gourdes de \(X\) et 6 % des gourdes de \(Y\) sont défectueuses (événement \(D\)). On prélève une gourde au hasard.

1. Construire l’arbre pondéré.
2. Calculer \(P(D)\).
3. La gourde est défectueuse : quelle est la probabilité qu’elle vienne de \(X\) ? Arrondir à \(10^{-3}\).

9 Le filtre anti-spam ★★★

30 % des messages reçus sont des spams (\(S\)). Un filtre signale (événement \(D\)) 95 % des spams et, à tort, 2 % des messages légitimes.

1. Calculer la probabilité qu’un message soit signalé.
2. Un message est signalé : quelle est la probabilité que ce soit un spam ? Arrondir à \(10^{-3}\).

10 Compléter un tableau ★★★

Un samedi, 500 clients entrent dans une boulangerie. 60 % achètent du pain (\(P\)). Parmi eux, un tiers achètent aussi une viennoiserie (\(V\)). Par ailleurs, 70 clients achètent une viennoiserie sans pain.

1. Recopier et compléter le tableau.
2. Calculer \(P_V(P)\) et \(P_{\overline{P}}(V)\).

11 Lunettes et indépendance ★★★

Dans un groupe de 120 élèves, on note \(L\) l’événement « porter des lunettes » et \(F\) « être une fille ».

1. Calculer \(P(L)\), \(P(F)\) et \(P(L\cap F)\).
2. Les événements \(L\) et \(F\) sont-ils indépendants ?
3. Calculer \(P_F(L)\) et \(P_G(L)\). Que remarque-t-on ?

12 Trois façons d’aller au lycée ★★★

Léa se rend au lycée à vélo (50 % des jours), en bus (30 %) ou à pied (20 %). Elle arrive en retard (\(R\)) avec la probabilité 0,04 à vélo, 0,10 en bus et 0,15 à pied.

1. Justifier que les trois modes de transport forment une partition.
2. Calculer \(P(R)\).
3. Léa est arrivée en retard. Quelle est la probabilité qu’elle ait pris le bus ?

13 Deux cartes sans remise ★★★

On tire successivement, sans remise, deux cartes dans un jeu de 32 cartes (4 as). Calculer la probabilité de tirer :

1. deux as ;
2. au moins un as.

14 Retrouver une intersection ★★★

On donne \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\) et \(P(A\cup B)=0{,}7\).

1. Calculer \(P(A\cap B)\).
2. Calculer \(P_A(B)\).
3. Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?

15 Pièce, urnes et deux tirages ★★★

On lance une pièce équilibrée. Si on obtient face, on choisit l’urne \(U_1\) (3 boules rouges, 2 noires) ; sinon l’urne \(U_2\) (1 boule rouge, 4 noires). Dans l’urne choisie, on tire avec remise deux boules. \(R_i\) : « la i-ème boule est rouge ».

1. Calculer \(P(R_1)\) puis \(P(R_1\cap R_2)\).
2. En déduire \(P_{R_1}(R_2)\).
3. Les événements \(R_1\) et \(R_2\) sont-ils indépendants ?

16 Deux lancers francs ★★★

Une basketteuse réussit son premier lancer franc avec la probabilité 0,7. Si elle réussit le premier, elle réussit le second avec la probabilité 0,8 ; si elle le rate, la probabilité de réussir le second est 0,5.

1. Calculer la probabilité de réussir les deux lancers, puis de n’en réussir aucun.
2. Calculer la probabilité de réussir exactement un lancer.
3. Elle a réussi exactement un lancer : quelle est la probabilité que ce soit le premier ?

17 Une propriété d’indépendance ★★★

Soit \(A\) et \(B\) deux événements indépendants.

1. Montrer que \(P(A\cap\overline{B})=P(A)\,P(\overline{B})\) : les événements \(A\) et \(\overline{B}\) sont indépendants.
2. Application : \(P(A)=0{,}3\) et \(P(B)=0{,}6\). Calculer \(P(A\cap\overline{B})\) et \(P(\overline{A}\cap\overline{B})\).

18 Trouver une probabilité inconnue ★★★

Dans une expérience, \(P(A)=0{,}6\), \(P_{\overline{A}}(B)=0{,}2\) et \(P(B)=0{,}44\). On note \(x=P_A(B)\).

1. Écrire une équation d’inconnue \(x\) avec la formule des probabilités totales.
2. La résoudre, puis calculer \(P_B(A)\).

19 La quête quotidienne ★★★

Dans un jeu mobile, une quête quotidienne est réussie avec la probabilité 0,6 si elle a été réussie la veille, et 0,3 si elle a été ratée la veille. Le lundi, la quête est réussie. On note \(M\) : « réussie le mardi », \(W\) : « réussie le mercredi ».

1. Donner \(P(M)\).
2. Calculer \(P(W)\) avec la formule des probabilités totales.
3. La quête est réussie le mercredi : quelle est la probabilité qu’elle l’ait été le mardi ?

20 Un test rare ★★★

Une maladie touche 2 % d’une population (événement \(M\)). Un test est positif (\(T\)) pour 98 % des malades et, à tort, pour 5 % des personnes saines.

1. Calculer \(P(T)\).
2. Une personne a un test positif. Calculer la probabilité qu’elle soit malade.
3. Retrouver ce résultat en raisonnant sur 10 000 personnes. Commenter.