Produit scalaire : exercices corrigés de maths 1ère

Rate this post

Exercices corrigés de maths en 1ère : Produit scalaire — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Corrigés rédigés des exercices du chapitre. Vérifie chaque étape, puis corrige-toi.

Sommaire

1 Quatre angles remarquables ★★★

On applique \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 5\times2\times\cos\theta = 10\cos\theta\).

\(10\times\cos 0^\circ = 10\).
\(10\times\dfrac{1}{2} = 5\).
\(10\times 0 = 0\).
\(10\times(-1) = -10\).

2 Norme et carré scalaire ★★★

\(\vec{u}\cdot\vec{u} = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\), donc \(\|\vec{u}\| = \sqrt{25} = 5\).

\(\vec{v}\cdot\vec{v} = 25 + 144 = 169\), donc \(\|\vec{v}\| = \sqrt{169} = 13\).

3 Produit scalaire en coordonnées ★★★

\(\vec{u}\cdot\vec{v} = 7\times2 + (-1)\times6 = 14 - 6 = 8\).
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = (-3)\times5 + 4\times2 = -15 + 8 = -7\).

4 Orthogonaux ou non ? ★★★

\(\vec{u}\cdot\vec{v} = 12 - 12 = 0\) : les vecteurs sont orthogonaux.
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 10 - 3 = 7 \neq 0\) : ils ne sont pas orthogonaux.

5 Dans un carré ★★★

\((AB)\perp(AD)\), donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = 0\).
Le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\) est \(B\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB\times AB = 36\).
\(\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}\), donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} = -\|\overrightarrow{AB}\|^2 = -36\).

6 Triangle équilatéral ★★★

L’angle en \(A\) vaut \(60^\circ\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 4\times4\times\cos60^\circ = 8\).

Comme \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} - AB^2 = 8 - 16 = -8\). (L’angle entre \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\) vaut \(120^\circ\) et \(16\cos120^\circ = -8\).)

7 Vrai ou faux ? ★★★

Vrai : c’est la symétrie du produit scalaire.
Faux : \(\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) sont non nuls et \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\).
Faux : avec les mêmes vecteurs, \(\|\vec{u}+\vec{v}\| = \sqrt{2}\) alors que \(\|\vec{u}\| + \|\vec{v}\| = 2\).

8 Retrouver un angle ★★★

Par la formule de polarisation, \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \dfrac{1}{2}(7 - 4 - 9) = -3\).

Alors \(\cos\theta = \dfrac{-3}{2\times3} = -\dfrac{1}{2}\), donc \(\theta = 120^\circ\).

9 Développer une norme ★★★

\(\|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = 16 - 2\times5 + 9 = 15\), donc \(\|\vec{u}-\vec{v}\| = \sqrt{15}\).

\(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = 16 + 2\times5 + 9 = 35\).

\((\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 = 16 - 9 = 7\).

10 Projections dans un rectangle ★★★

Le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\) est \(B\).

\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} = AB\times AB = 64\).

\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AE} = AE\times AB = 3\times8 = 24\) (même sens).

Comme \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AB} = 0 - 64 = -64\).

11 Angle dans un repère ★★★

\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\), donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 4 + 4 = 8\).

\(AB = AC = \sqrt{17}\), donc \(\cos\widehat{BAC} = \dfrac{8}{17}\) et \(\widehat{BAC} \approx 61{,}9^\circ\).

12 Al-Kashi à 120° ★★★

\(BC^2 = 49 + 81 - 2\times7\times9\times\cos120^\circ = 130 - 126\times\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 130 + 63 = 193\).

Donc \(BC = \sqrt{193} \approx 13{,}89\).

13 Un angle avec trois côtés ★★★

On applique Al-Kashi : \(7^2 = 5^2 + 6^2 - 2\times5\times6\cos\theta\), soit \(49 = 61 - 60\cos\theta\).

Donc \(\cos\theta = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5}\) et \(\theta \approx 78{,}5^\circ\).

14 Longueur d’une médiane ★★★

Théorème de la médiane : \(AI^2 = \dfrac{81 + 49}{2} - \dfrac{100}{4} = 65 - 25 = 40\).

Donc \(AI = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}32\).

15 Un paramètre ★★★

\(\vec{u}\cdot\vec{v} = 4m - 6 = 0\) équivaut à \(m = \dfrac{3}{2}\).
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = m^2 - 16 = 0\) équivaut à \(m = 4\) ou \(m = -4\).

16 Triangle rectangle et aire ★★★

\(\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) : \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} = -8 + 8 = 0\). Le triangle est donc rectangle en \(B\).

\(BA = \sqrt{20}\) et \(BC = \sqrt{20}\). Aire \(= \dfrac{BA\times BC}{2} = \dfrac{20}{2} = 10\) unités d’aire.

17 Cercle de diamètre [AB] ★★★

\(\overrightarrow{MA}\begin{pmatrix} -3 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{MB}\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}\) : \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = -9 + 9 = 0\). Le point \(M\) convient.
\(\overrightarrow{MA}\begin{pmatrix} -1-x \\ -y \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{MB}\begin{pmatrix} 5-x \\ -y \end{pmatrix}\), donc \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = (-1-x)(5-x) + y^2 = x^2 - 4x - 5 + y^2\).

Cette expression est nulle si et seulement si \((x-2)^2 + y^2 = 9\). L’ensemble est le cercle de centre \(I(2\,;\,0)\) (milieu de \([AB]\)) et de rayon \(3\), c’est-à-dire le cercle de diamètre \([AB]\).

18 Le travail d’une force ★★★

\(W = \|\vec{F}\|\times AB\times\cos30^\circ = 150\times12\times\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 900\sqrt{3}\).

Donc \(W \approx 1559\) J.

19 Hauteurs d’un triangle ★★★

Un point \(M(x\,;\,y)\) est sur la hauteur issue de \(C\) si \(\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{AB} = 0\), avec \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) : \(3x + 2(y-4) = 0\), soit \(3x + 2y = 8\).

Hauteur issue de \(A\) : \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC} = 0\) avec \(\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}\) : \(-4(x-1) + 3(y+1) = 0\), soit \(-4x + 3y = -7\).

On résout : \(9x + 6y = 24\) et \(-8x + 6y = -14\), donc \(17x = 38\), \(x = \dfrac{38}{17}\), puis \(y = \dfrac{8 - 3x}{2} = \dfrac{11}{17}\). Donc \(H\left(\dfrac{38}{17}\,;\,\dfrac{11}{17}\right)\).

20 Diagonales d’un parallélogramme ★★★

Soit \(O\) le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\). Dans le triangle \(ABD\), \(O\) est le milieu de \([BD]\) : \(AB^2 + AD^2 = 2AO^2 + \dfrac{BD^2}{2}\).

Avec \(AO = 4\) : \(36 + 16 = 32 + \dfrac{BD^2}{2}\), donc \(BD^2 = 40\) et \(BD = 2\sqrt{10} \approx 6{,}32\).

21 Un ensemble de points ★★★

Dans le triangle \(MAB\), le théorème de la médiane donne \(MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \dfrac{AB^2}{2} = 2MI^2 + 18\).

La condition équivaut à \(2MI^2 = 16\), soit \(MI^2 = 8\), donc \(MI = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\). L’ensemble est le cercle de centre \(I\) et de rayon \(2\sqrt{2}\).