Fonctions trigonométriques : corrigé du contrôle de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Radians et valeurs exactes / 3 pts

(a) \(210^\circ=\dfrac{210\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{6}\) rad (1 pt).

(b) \(\cos\dfrac{5\pi}{4}=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}+\pi\right)=-\cos\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) (1 pt).

(c) \(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sin\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) (1 pt).

2 Réduction d’un angle / 3 pts

\(\dfrac{25\pi}{4}-6\pi=\dfrac{25\pi-24\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}\), et \(\dfrac{\pi}{4}\in]-\pi\,;\,\pi]\) (1 pt).

Par périodicité, \(\cos\dfrac{25\pi}{4}=\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) (1 pt) et \(\sin\dfrac{25\pi}{4}=\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) (1 pt).

3 Équations / 4 pts

(a) \(\sin x=-\dfrac{1}{2}=\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\), donc \(x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\) ou \(x=\pi+\dfrac{\pi}{6}+2k\pi=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi\) (1 pt). Dans \(]-\pi\,;\,\pi]\), on obtient \(S=\left\{-\dfrac{5\pi}{6}\,;\,-\dfrac{\pi}{6}\right\}\) (1 pt).

(b) \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos\dfrac{5\pi}{6}\), donc \(x=\pm\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\) (1 pt). Dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) : \(S=\left\{-\dfrac{5\pi}{6}\,;\,\dfrac{5\pi}{6}\right\}\) (1 pt).

4 Dérivées / 4 pts

(a) \(f'(x)=-4\sin x+3\cos(3x)\) (1 pt).

(b) \(g'(x)=2x\cos x-x^2\sin x\) (1 pt).

(c) \(h'(x)=\dfrac{\cos x(3-\cos x)-\sin x\times\sin x}{(3-\cos x)^2}\) (1 pt) \(=\dfrac{3\cos x-\cos^2x-\sin^2x}{(3-\cos x)^2}=\dfrac{3\cos x-1}{(3-\cos x)^2}\) (1 pt).

5 Étude d’une fonction / 4 pts

(a) \(f'(x)=-2\sin x+1=1-2\sin x\) (1 pt).

(b) \(f'(x)\geqslant0\iff\sin x\leqslant\dfrac{1}{2}\). Sur \([0\,;\,\pi]\), \(\sin x=\dfrac{1}{2}\) pour \(x=\dfrac{\pi}{6}\) et \(x=\dfrac{5\pi}{6}\) : \(f'>0\) sur \(\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{6}\right[\), \(f'<0\) sur \(\left]\dfrac{\pi}{6}\,;\,\dfrac{5\pi}{6}\right[\), \(f'>0\) sur \(\left]\dfrac{5\pi}{6}\,;\,\pi\right]\) (1,5 pt).

(c) \(f(0)=2\), \(f\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}+\dfrac{\pi}{6}\), \(f\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\sqrt{3}+\dfrac{5\pi}{6}\), \(f(\pi)=\pi-2\) (1 pt pour les valeurs).

(Tableau correct : 0,5 pt)

6 Limite en zéro / 2 pts

Pour \(x\neq0\), \(\dfrac{\sin(7x)}{3x}=\dfrac{7}{3}\times\dfrac{\sin(7x)}{7x}\) (1 pt). Comme \(\dfrac{\sin X}{X}\to1\) quand \(X=7x\to0\), la limite vaut \(\dfrac{7}{3}\) (1 pt).