Fonction logarithme népérien : exercices corrigés de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Valeurs remarquables ★★★

\(\ln 1 = 0\) ; \(\ln e = 1\) ; \(\ln(e^5) = 5\) ; \(\ln\frac{1}{e} = \ln(e^{-1}) = -1\) ; \(e^{\ln 7} = 7\) ; \(e^{-\ln 2} = \dfrac{1}{e^{\ln 2}} = \dfrac{1}{2}\).

2 Ensembles de définition ★★★

1. \(3x - 6 \gt 0 \iff x \gt 2\) : \(D_f = ]2\,;+\infty[\).
2. \(5 - x \gt 0 \iff x \lt 5\) : \(D_g = ]-\infty\,;5[\).
3. \(x^2 + 1 \geq 1 \gt 0\) pour tout \(x\) : \(D_h = \mathbb{R}\).
4. \(x^2 - 9 \gt 0 \iff (x - 3)(x + 3) \gt 0 \iff x \lt -3\) ou \(x \gt 3\) : \(D_k = ]-\infty\,;-3[ \cup ]3\,;+\infty[\).

3 Exprimer avec ln 2 et ln 3 ★★★

\(\ln 6 = \ln(2 \times 3) = a + b\). \(\ln 12 = \ln(2^2 \times 3) = 2a + b\). \(\ln\frac{3}{4} = \ln 3 - \ln 2^2 = b - 2a\).

\(\ln 72 = \ln(2^3 \times 3^2) = 3a + 2b\). \(\ln\sqrt{18} = \frac{1}{2}\ln(2 \times 3^2) = \frac{1}{2}(a + 2b) = \dfrac{a}{2} + b\).

4 Écrire avec un seul logarithme ★★★

\(A = \ln\frac{50}{2} = \ln 25 = 2\ln 5\). \(B = \ln\left(8 \times \frac{1}{4}\right) = \ln 2\). \(C = \ln 8 + \ln 5 = \ln 40\). \(D = e^{\ln 9} = 9\) car \(2\ln 3 = \ln 9\).

5 Équations élémentaires ★★★

(a) \(x = e^2\). (b) \(x = e^{-1} = \frac{1}{e}\). (c) \(2x = e^0 = 1\), donc \(x = \frac{1}{2}\). (d) Condition \(x \gt 1\) ; \(x - 1 = e^3\), donc \(x = 1 + e^3\), qui convient.

6 Premières dérivées ★★★

\(f'(x) = \dfrac{3}{x} - 2\). \(g'(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x\). \(h'(x) = \dfrac{2}{2x + 1}\). \(k'(x) = 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x = \dfrac{2\ln x}{x}\).

7 Signe de ln ★★★

(a) \(x \gt 1\). (b) \(0 \lt x \leq 1\). (c) \(\ln x \geq \ln e\) donc \(x \geq e\). (d) \(\ln x \lt -2 \iff x \lt e^{-2}\), soit \(0 \lt x \lt e^{-2}\).

8 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : \(\ln 3 + \ln 4 = \ln(3 \times 4)\).
2. Faux : \(\ln 7 \neq \ln 10\), puisque \(\ln\) est injective et \(7 \neq 10\).
3. Vrai : \(\ln(3^2) = 2\ln 3\).
4. Faux : pour \(x = -1\), \(\ln(x^2) = \ln 1 = 0\) mais \(\ln x\) n’existe pas. Pour \(x \lt 0\), on a \(\ln(x^2) = 2\ln|x|\).
5. Faux : avec \(a = e^2\) et \(b = e\), le quotient vaut \(2\) mais la différence vaut \(1\).

9 Une équation à deux logarithmes ★★★

Conditions : \(x \gt 2\) et \(x \gt -1\), donc \(x \gt 2\).

L’équation équivaut à \((x - 2)(x + 1) = 4\), soit \(x^2 - x - 6 = 0\), de discriminant \(1 + 24 = 25\) et de racines \(3\) et \(-2\).

Seule \(3\) vérifie \(x \gt 2\) : \(S = \{3\}\). Vérification : \(\ln 1 + \ln 4 = \ln 4\).

10 Une équation du second degré en ln x ★★★

Avec \(X = \ln x\) (\(x \gt 0\)) : \(X^2 - 3X + 2 = 0\), soit \((X - 1)(X - 2) = 0\), donc \(X = 1\) ou \(X = 2\).

Ainsi \(\ln x = 1\) ou \(\ln x = 2\), c’est-à-dire \(x = e\) ou \(x = e^2\). \(S = \{e\,;e^2\}\).

11 Comparer deux logarithmes ★★★

Conditions : \(3 - x \gt 0\) et \(x + 1 \gt 0\), soit \(-1 \lt x \lt 3\).

\(\ln\) étant strictement croissante, l’inéquation équivaut à \(3 - x \gt x + 1\), soit \(x \lt 1\).

En croisant avec la condition : \(S = ]-1\,;1[\).

12 Variations de ln(x² + 1) ★★★

(a) \(x^2 + 1 \geq 1 \gt 0\) pour tout réel \(x\), donc \(D_f = \mathbb{R}\).

(b) \(f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}\), du signe de \(x\). \(f\) décroît sur \(]-\infty\,;0]\) et croît sur \([0\,;+\infty[\), avec \(f(0) = \ln 1 = 0\) : c’est le minimum.

(c) \(x^2 + 1 \to +\infty\) et \(\ln u \to +\infty\) quand \(u \to +\infty\) : la limite est \(+\infty\).

13 Quatre limites ★★★

(a) \(\dfrac{\ln x}{x^2} = \dfrac{\ln x}{x} \times \dfrac{1}{x} \to 0 \times 0 = 0\).

(b) \(x^2\ln x = x \times (x\ln x) \to 0 \times 0 = 0\) (croissances comparées).

(c) \(x - 3\ln x = x\left(1 - 3\dfrac{\ln x}{x}\right) \to +\infty\).

(d) \(\ln x \to -\infty\) et \(\frac{1}{x} \to +\infty\) : le produit tend vers \(-\infty\).

14 Un stock qui s’épuise ★★★

Après \(n\) semaines, le stock est \(800 \times 0{,}94^n\).

\(800 \times 0{,}94^n \lt 300 \iff 0{,}94^n \lt 0{,}375 \iff n\ln 0{,}94 \lt \ln 0{,}375\). Comme \(\ln 0{,}94 \lt 0\), on change le sens : \(n \gt \dfrac{\ln 0{,}375}{\ln 0{,}94} \approx 15{,}85\).

Le stock passe sous \(300\) kg à partir de la \(16^{\text{e}}\) semaine (\(800 \times 0{,}94^{15} \approx 316\) kg et \(800 \times 0{,}94^{16} \approx 297\) kg).

15 Une inégalité fondamentale ★★★

(a) \(f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x}\), du signe de \(x - 1\). \(f\) décroît sur \(]0\,;1]\) et croît sur \([1\,;+\infty[\), avec \(f(1) = 1 - 1 - 0 = 0\).

Limite en \(0^+\) : \(-\ln x \to +\infty\) et \(x - 1 \to -1\), donc \(f \to +\infty\). Limite en \(+\infty\) : \(f(x) = x\left(1 - \frac{1}{x} - \frac{\ln x}{x}\right) \to +\infty\).

(b) Le minimum de \(f\) est \(0\), donc \(f(x) \geq 0\), c’est-à-dire \(\ln x \leq x - 1\), avec égalité seulement en \(x = 1\).

16 La courbe de ln x / x ★★★

(a) Avec \(u = \ln x\) et \(v = x\) : \(f' = \dfrac{\frac{1}{x} \times x - \ln x \times 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}\).

(b) \(f'(x) \gt 0 \iff \ln x \lt 1 \iff x \lt e\). Donc \(f\) croît sur \(]0\,;e]\) de \(-\infty\) à \(f(e) = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}37\), puis décroît sur \([e\,;+\infty[\) vers \(0\) (croissances comparées). Limite en \(0^+\) : \(\ln x \to -\infty\) et \(\frac{1}{x} \to +\infty\), donc \(-\infty\).

(c) \(f(x) = 0 \iff \ln x = 0 \iff x = 1\). \(f(x) \gt 0 \iff \ln x \gt 0 \iff x \gt 1\).

17 Une inéquation avec (ln x)² ★★★

Posons \(X = \ln x\). Alors \(X^2 - X - 2 = (X - 2)(X + 1) \geq 0\), donc \(X \leq -1\) ou \(X \geq 2\) (trinôme positif à l’extérieur des racines).

Donc \(\ln x \leq -1\) ou \(\ln x \geq 2\), c’est-à-dire \(0 \lt x \leq e^{-1}\) ou \(x \geq e^2\).

\(S = \left]0\,;\dfrac{1}{e}\right] \cup [e^2\,;+\infty[\).

18 π puissance e contre e puissance π ★★★

(a) \(\ln e = 1\) et \(\ln'(e) = \frac{1}{e}\) : \(T : y = 1 + \frac{1}{e}(x - e) = \dfrac{x}{e}\).

(b) \(\ln\) est concave (\(\ln'' = -\frac{1}{x^2} \lt 0\)), donc sa courbe est sous ses tangentes : \(\ln x \leq \frac{x}{e}\), avec égalité seulement en \(x = e\).

(c) Pour \(x = \pi \neq e\) : \(\ln\pi \lt \dfrac{\pi}{e}\), donc \(e\ln\pi \lt \pi\), soit \(\ln(\pi^e) \lt \ln(e^{\pi})\). Par croissance de \(\ln\) : \(\pi^e \lt e^{\pi}\). (En effet, \(\pi^e \approx 22{,}46\) et \(e^\pi \approx 23{,}14\).)

19 Combien de chiffres ? ★★★

Un entier \(N\) a \(\lfloor\log N\rfloor + 1\) chiffres.

\(\log(2^{100}) = 100\log 2 \approx 30{,}103\) : la partie entière est \(30\), donc \(2^{100}\) a \(31\) chiffres.

\(\log(7^{50}) = 50\log 7 \approx 42{,}255\) : la partie entière est \(42\), donc \(7^{50}\) a \(43\) chiffres.

20 Doubler son capital ★★★

Le capital est multiplié par \(1{,}03^n\) en \(n\) ans. Il double si \(1{,}03^n \geq 2\), soit \(n \geq \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}03} \approx 23{,}45\).

Au bout de \(20\) ans, le coefficient est \(1{,}03^{20} \approx 1{,}806 \lt 2\) : non, il ne double pas. Le nombre minimal d’années est \(24\) (car \(1{,}03^{23} \approx 1{,}974 \lt 2\) et \(1{,}03^{24} \approx 2{,}033 \gt 2\)).