Comment mesurer l’intensité d’un séisme, le niveau sonore d’un concert ou l’acidité d’une solution avec des nombres raisonnables, alors que les quantités en jeu s’étendent sur des milliards d’unités ? Grâce à une fonction qui transforme les produits en sommes : le logarithme. Dans ce chapitre, tu construis le logarithme népérien comme réciproque de l’exponentielle, tu l’étudies de fond en comble, puis tu t’en sers pour résoudre équations, inéquations et problèmes de croissance.
1. Définition du logarithme népérien
La fonction exponentielle \(x \mapsto e^x\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), avec des valeurs qui parcourent tout l’intervalle \(]0\,;+\infty[\). Pour chaque réel \(a\) strictement positif, l’équation \(e^x = a\) possède donc une unique solution.
Pour tout réel \(a \gt 0\), l’unique solution de l’équation \(e^x = a\) est notée \(\ln a\). La fonction \(\ln : x \mapsto \ln x\) est définie sur \(]0\,;+\infty[\) : c’est la réciproque de l’exponentielle.
- Pour tout \(x \gt 0\) : \(e^{\ln x} = x\). Pour tout réel \(x\) : \(\ln(e^x) = x\).
- \(\ln 1 = 0\) et \(\ln e = 1\).
- Pour \(a \gt 0\) et \(b\) réel : \(\ln a = b \iff a = e^b\).
Les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite d’équation \(y = x\) : le point \((0\,;1)\) de l’exponentielle devient le point \((1\,;0)\) du logarithme, et le point \((1\,;e)\) devient \((e\,;1)\).
On ne peut calculer \(\ln x\) que si \(x \gt 0\). Avant toute résolution, il faut donc écrire la condition d’existence : pour \(\ln(5 - 2x)\), il faut \(5 - 2x \gt 0\), c’est-à-dire \(x \lt \dfrac{5}{2}\).
2. Propriétés algébriques
Pour tous réels \(a \gt 0\) et \(b \gt 0\) et tout entier relatif \(n\) :
- \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\)
- \(\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a\) et \(\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b\)
- \(\ln(a^n) = n \ln a\) et \(\ln\sqrt{a} = \dfrac{1}{2}\ln a\)
Preuve de la première. On a \(e^{\ln a + \ln b} = e^{\ln a} \times e^{\ln b} = ab\). Le nombre \(\ln a + \ln b\) est donc la solution de \(e^x = ab\), c’est-à-dire \(\ln(ab)\). Les autres relations s’en déduisent : \(\ln a + \ln\frac{1}{a} = \ln 1 = 0\), puis une récurrence pour les puissances.
Écrire \(A = \ln 40 - 3\ln 2\) avec un seul logarithme.
\(3\ln 2 = \ln(2^3) = \ln 8\), donc \(A = \ln 40 - \ln 8 = \ln\dfrac{40}{8} = \ln 5\).
\(\ln(a + b)\) n’est pas \(\ln a + \ln b\), et \(\ln(a \times b)\) n’est pas \(\ln a \times \ln b\). Par exemple, \(\ln 2 + \ln 3 = \ln 6\), mais \(\ln 5 \neq \ln 2 + \ln 3\).
3. Étude de la fonction logarithme népérien
La fonction \(\ln\) est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) et \(\ln'(x) = \dfrac{1}{x}\). Cette dérivée étant strictement positive, \(\ln\) est strictement croissante.
On en tire des équivalences très utiles : pour \(a \gt 0\) et \(b \gt 0\),
- \(\ln a = \ln b \iff a = b\) ;
- \(\ln a \lt \ln b \iff a \lt b\) ;
- \(\ln x \gt 0 \iff x \gt 1\) et \(\ln x \lt 0 \iff 0 \lt x \lt 1\).
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty\) : l’axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe.
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| signe de \(\ln x\) | || | \(-\) puis \(+\) | |
| variations de \(\ln\) | \(-\infty\) | \(0\) en \(x = 1\) | \(+\infty\) |
| signe de \(\ln^{\prime}(x)\) | || | \(+\) | \(+\) |
La tangente au point d’abscisse \(1\) a pour pente \(\ln'(1) = 1\) et passe par \(A(1\,;0)\) : son équation est \(y = x - 1\).
4. Dérivée de \(\ln(u)\)
Si \(u\) est dérivable et strictement positive sur un intervalle \(I\), alors \(x \mapsto \ln(u(x))\) est dérivable sur \(I\) et \[ \bigl(\ln u\bigr)' = \dfrac{u'}{u}. \]
Soit \(f(x) = \ln(x^2 - 4x + 5)\). Le trinôme \(x^2 - 4x + 5\) a pour discriminant \(16 - 20 = -4 \lt 0\) et un coefficient dominant positif : il est strictement positif sur \(\mathbb{R}\), donc \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
\(f'(x) = \dfrac{2x - 4}{x^2 - 4x + 5}\), du signe de \(2x - 4\). La fonction \(f\) décroît sur \(]-\infty\,;2]\), croît sur \([2\,;+\infty[\), et son minimum vaut \(f(2) = \ln(4 - 8 + 5) = \ln 1 = 0\).
- Détermine où \(u(x) \gt 0\) : c’est le domaine.
- Calcule \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) ; comme \(u(x) \gt 0\), le signe est celui de \(u'(x)\).
- Dresse le tableau de variations et calcule les valeurs ou limites utiles.
5. Limites et croissances comparées
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0\). Plus généralement, pour tout entier \(n \geq 1\) : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0\).
En clair : en \(+\infty\), le logarithme croît beaucoup plus lentement que n’importe quelle puissance de \(x\). Pour passer de \(\ln x = 10\) à \(\ln x = 20\), il faut passer de \(x \approx 22\,026\) à \(x \approx 485\,000\,000\) !
Comme \(\ln'(1) = 1\) et \(\ln 1 = 0\), on a \(\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(1 + h)}{h} = 1\).
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x - 3\ln x)\).
Pour \(x \gt 0\) : \(x - 3\ln x = x\left(1 - 3\,\dfrac{\ln x}{x}\right)\). Or \(\dfrac{\ln x}{x} \to 0\), donc la parenthèse tend vers \(1\) et le produit vers \(+\infty\).
Quand tu vois « \(+\infty - \infty\) » avec un logarithme, factorise le terme dominant (ici \(x\)) : le logarithme n’y est plus qu’un petit poids mort devant \(x\).
6. Équations et inéquations
- Écris les conditions d’existence (chaque argument d’un \(\ln\) doit être strictement positif).
- Regroupe pour obtenir \(\ln A = \ln B\) (ou \(\ln A = k\)).
- Reviens aux arguments : \(A = B\) (ou \(A = e^k\)) ; pour une inéquation, la croissance de \(\ln\) conserve le sens.
- Garde uniquement les solutions qui vérifient les conditions d’existence.
Résoudre \(\ln(x + 3) + \ln(x - 1) = \ln 5\).
Conditions : \(x + 3 \gt 0\) et \(x - 1 \gt 0\), donc \(x \gt 1\). L’équation s’écrit \(\ln\bigl((x+3)(x-1)\bigr) = \ln 5\), soit \(x^2 + 2x - 3 = 5\), c’est-à-dire \(x^2 + 2x - 8 = 0\), de racines \(2\) et \(-4\). Seule \(2\) vérifie \(x \gt 1\) : \(S = \{2\}\).
Résoudre \(\ln(2x - 1) \leq 3\).
Condition : \(x \gt \dfrac{1}{2}\). Alors \(\ln(2x - 1) \leq 3 \iff 2x - 1 \leq e^3 \iff x \leq \dfrac{1 + e^3}{2}\). Donc \(S = \left]\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1 + e^3}{2}\right]\).
7. Concavité de la fonction ln
La dérivée seconde de \(\ln\) est \(\ln''(x) = -\dfrac{1}{x^2}\), strictement négative sur \(]0\,;+\infty[\) : la fonction \(\ln\) est concave. Sa courbe est située au-dessus de chacune de ses cordes et au-dessous de chacune de ses tangentes.
La courbe étant sous sa tangente au point d’abscisse \(1\) (d’équation \(y = x - 1\)), on a pour tout \(x \gt 0\) : \[ \ln x \leq x - 1, \] avec égalité seulement pour \(x = 1\).
8. Logarithme décimal et suites géométriques
Le logarithme décimal d’un réel \(x \gt 0\) est \(\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}\). Il vérifie \(\log 10^n = n\) et les mêmes relations algébriques que \(\ln\).
Il sert à compter les chiffres : un entier \(N\) possède \(\lfloor \log N \rfloor + 1\) chiffres.
| \(N\) | \(9\) | \(250\) | \(10^6\) | \(2^{30}\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\log N\) | \(0{,}95\) | \(2{,}40\) | \(6\) | \(9{,}03\) |
| nombre de chiffres | 1 | 3 | 7 | 10 |
Un capital de \(5\,000\) € placé à \(4\,\%\) par an vaut \(C_n = 5\,000 \times 1{,}04^n\) après \(n\) ans. Quand dépasse-t-il \(8\,000\) € ?
\(5\,000 \times 1{,}04^n \gt 8\,000 \iff 1{,}04^n \gt 1{,}6 \iff n\ln 1{,}04 \gt \ln 1{,}6 \iff n \gt \dfrac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}04} \approx 11{,}98\) (on a divisé par \(\ln 1{,}04 \gt 0\)). Il faut donc \(n = 12\) ans.
Si la raison \(q\) est comprise entre \(0\) et \(1\), alors \(\ln q \lt 0\) : en divisant par \(\ln q\), l’inégalité change de sens.
À retenir
- \(\ln\) est la réciproque de \(\exp\) : \(e^{\ln x} = x\) pour \(x \gt 0\), \(\ln(e^x) = x\), \(\ln 1 = 0\), \(\ln e = 1\).
- \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b\), \(\ln(a^n) = n\ln a\) ; \(\ln(a+b)\) ne se simplifie pas.
- \(\ln'(x) = \frac{1}{x}\) : \(\ln\) est strictement croissante, de limites \(-\infty\) en \(0^+\) et \(+\infty\) en \(+\infty\) ; \((\ln u)' = \frac{u'}{u}\).
- Croissances comparées : \(\frac{\ln x}{x} \to 0\) en \(+\infty\) et \(x\ln x \to 0\) en \(0^+\).
- Pour résoudre : conditions d’existence, \(\ln A = \ln B \iff A = B\), \(\ln A \lt \ln B \iff A \lt B\), puis tri des solutions.
- \(\ln\) est concave et \(\ln x \leq x - 1\) ; \(\log x = \frac{\ln x}{\ln 10}\) pour compter les chiffres et résoudre \(q^n \gt k\).
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