Combien d’eau a coulé dans un réservoir pendant une heure ? Quelle distance un coureur a-t-il parcourue connaissant sa vitesse à chaque instant ? Quelle est l’aire d’un terrain délimité par une courbe ? Toutes ces questions se règlent avec un même outil, l’intégrale. Tu vas voir qu’elle mesure une aire, qu’elle se calcule avec des primitives, et qu’elle obéit à des règles simples qui rendent les calculs très efficaces.
1. Intégrale et aire sous une courbe
Le plan est muni d’un repère orthogonal. On choisit une unité d’aire (u.a.) : c’est l’aire du rectangle construit sur les unités des deux axes.
Soit \(f\) une fonction continue et positive sur \([a\,;\,b]\), avec \(a \leqslant b\). L’intégrale de \(f\) entre \(a\) et \(b\), notée \[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x, \] est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe de \(f\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = a\) et \(x = b\).
Sur la figure, le domaine coloré est celui qui se trouve sous la courbe de \(f(x) = \dfrac{x^2}{4} + 1\) entre \(a = 1\) et \(b = 4\). La variable \(x\) est « muette » : on peut écrire \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) sans rien changer.
Pour \(f(x) = x\) sur \([0\,;\,4]\), le domaine est un triangle rectangle de base \(4\) et de hauteur \(4\). Donc \(\displaystyle\int_0^4 x\,\mathrm{d}x = \dfrac{4 \times 4}{2} = 8\) u.a.
Si \(f\) est de signe quelconque, l’intégrale se définit encore, mais elle compte négativement les parties situées sous l’axe des abscisses. Et on pose \(\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x = 0\) ainsi que \(\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x = -\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\).
Quand \(f\) est négative sur \([a\,;\,b]\), l’intégrale est un nombre négatif, alors qu’une aire est toujours positive. L’aire du domaine vaut alors \(-\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\), comme pour la zone ci-dessus.
2. Lien avec les primitives
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) et \(F\) une primitive de \(f\) sur \(I\). Pour tous \(a\) et \(b\) de \(I\) : \[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b. \] De plus, pour \(a\) fixé, la fonction \(x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) est la primitive de \(f\) qui s’annule en \(a\).
Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie : si on remplace \(F\) par \(F + k\), la constante \(k\) disparaît dans la différence \(F(b) - F(a)\). On prend donc la primitive la plus simple.
- Repère une primitive \(F\) de \(f\) avec les formules usuelles (sans constante).
- Écris \(\Big[F(x)\Big]_a^b\).
- Calcule \(F(b) - F(a)\) avec soin, surtout avec des signes moins.
\(\displaystyle\int_1^3 (2x + 1)\,\mathrm{d}x = \Big[x^2 + x\Big]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 10\).
Avec une exponentielle : \(\displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x = \Big[\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\Big]_0^1 = \dfrac{\mathrm{e}^2 - 1}{2}\).
| Fonction \(f\) | Une primitive \(F\) |
|---|---|
| \(x^n\) (\(n \neq -1\)) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) (\(x > 0\)) | \(\ln x\) |
| \(\mathrm{e}^{x}\) | \(\mathrm{e}^{x}\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) |
| \(u^{\prime} \mathrm{e}^{u}\) | \(\mathrm{e}^{u}\) |
| \(\dfrac{u^{\prime}}{u}\) (\(u > 0\)) | \(\ln u\) |
3. Linéarité et relation de Chasles
Si \(f\) et \(g\) sont continues sur \([a\,;\,b]\) et \(k\) est un réel : \[ \int_a^b \big(f(x) + g(x)\big)\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x \qquad \int_a^b k\,f(x)\,\mathrm{d}x = k\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x. \]
Si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) et si \(a\), \(b\), \(c\) sont dans \(I\) : \[ \int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x. \]
\(\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\,\mathrm{d}x = \Big[x^3 - 2x^2 + x\Big]_0^2 = (8 - 8 + 2) - 0 = 2\).
Si \(\int_0^2 f = 5\) et \(\int_2^5 f = -1\), alors \(\int_0^5 f = 5 + (-1) = 4\) par la relation de Chasles, et \(\int_5^2 f = 1\).
4. Positivité et encadrement
Soient \(f\) et \(g\) continues sur \([a\,;\,b]\) avec \(a \leqslant b\).
- Si \(f \geqslant 0\) sur \([a\,;\,b]\), alors \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \geqslant 0\).
- Si \(f \leqslant g\) sur \([a\,;\,b]\), alors \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x\).
- Si \(m \leqslant f \leqslant M\) sur \([a\,;\,b]\), alors \(m(b-a) \leqslant \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant M(b-a)\).
Le dernier point est géométrique : le domaine sous la courbe contient un rectangle de hauteur \(m\) et est contenu dans un rectangle de hauteur \(M\). Il sert à encadrer une intégrale qu’on ne sait pas calculer.
Pour \(x \in [0\,;\,1]\), on a \(0 \leqslant x^2 \leqslant 1\), donc \(\mathrm{e}^{-1} \leqslant \mathrm{e}^{-x^2} \leqslant 1\). En intégrant sur \([0\,;\,1]\) (longueur \(1\)) : \(\mathrm{e}^{-1} \leqslant \int_0^1 \mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x \leqslant 1\).
Les inégalités entre intégrales exigent \(a \leqslant b\). Si les bornes sont dans l’autre sens, le sens de l’inégalité s’inverse.
5. Valeur moyenne
Si \(f\) est continue sur \([a\,;\,b]\) avec \(a < b\), sa valeur moyenne sur \([a\,;\,b]\) est \[ \mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x. \]
Géométriquement, \(\mu\) est la hauteur du rectangle de base \([a\,;\,b]\) qui a la même aire que le domaine sous la courbe. On a toujours \(m \leqslant \mu \leqslant M\) si \(m \leqslant f \leqslant M\).
Valeur moyenne de \(f(x) = x^2\) sur \([0\,;\,3]\) : \(\displaystyle\mu = \dfrac{1}{3}\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^3 = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3\). C’est la droite \(y = 3\) tracée sur la figure.
6. Intégration par parties
Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur \([a\,;\,b]\) dont les dérivées \(u^{\prime}\) et \(v^{\prime}\) sont continues. Alors \[ \int_a^b u^{\prime}(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u(x)\,v^{\prime}(x)\,\mathrm{d}x. \]
Elle vient de la dérivée d’un produit : \((uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}\), qu’on intègre entre \(a\) et \(b\).
- Repère dans l’intégrale un produit où l’un des facteurs se simplifie en le dérivant (souvent \(x\) ou \(\ln x\)) et l’autre a une primitive facile.
- Nomme \(u^{\prime}\) (celui qu’on intègre) et \(v\) (celui qu’on dérive).
- Calcule \(u\) et \(v^{\prime}\), applique la formule, puis termine le calcul.
\(I = \displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x\). On pose \(u^{\prime}(x) = \mathrm{e}^{x}\), \(v(x) = x\), donc \(u(x) = \mathrm{e}^{x}\), \(v^{\prime}(x) = 1\).
\(I = \Big[x\,\mathrm{e}^{x}\Big]_0^1 - \displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - (\mathrm{e} - 1) = 1\).
Pour \(\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} \ln x\,\mathrm{d}x\), on écrit \(\ln x = 1 \times \ln x\) avec \(u(x) = x\) et \(v(x) = \ln x\) : \(\Big[x\ln x\Big]_1^{\mathrm{e}} - \int_1^{\mathrm{e}} 1\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - (\mathrm{e} - 1) = 1\).
Sur ma planète, on dit « on dérive le polynôme, on intègre l’exponentielle ». Si le logarithme est dans le produit, c’est lui qu’on dérive, car sa dérivée \(\dfrac{1}{x}\) est plus simple que lui !
7. Aire entre deux courbes
Si \(f\) et \(g\) sont continues sur \([a\,;\,b]\) et si \(f \geqslant g\) sur cet intervalle, l’aire du domaine compris entre les courbes de \(f\) et \(g\) et les droites \(x = a\) et \(x = b\) est \[ \mathcal{A} = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x \text{ u.a.} \]
Soit \(f(x) = 4x\) et \(g(x) = x^2\). Elles se coupent quand \(4x = x^2\), soit \(x = 0\) ou \(x = 4\). Sur \([0\,;\,4]\), \(4x - x^2 = x(4 - x) \geqslant 0\), donc \(f \geqslant g\).
\(\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^4 (4x - x^2)\,\mathrm{d}x = \Big[2x^2 - \dfrac{x^3}{3}\Big]_0^4 = 32 - \dfrac{64}{3} = \dfrac{32}{3}\) u.a.
Pour passer en unités usuelles, on multiplie par l’aire d’une unité : si l’unité d’aire vaut \(2\text{ cm} \times 3\text{ cm}\), alors \(1\) u.a. \(= 6\text{ cm}^2\). Si les courbes se croisent à l’intérieur de l’intervalle, on découpe avec Chasles aux points d’intersection et on intègre à chaque fois « la plus haute moins la plus basse ».
À retenir
- Pour \(f\) continue et positive, \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) est l’aire sous la courbe, en unités d’aire.
- \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)\) où \(F\) est une primitive de \(f\).
- L’intégrale est linéaire et vérifie la relation de Chasles ; échanger les bornes change le signe.
- Si \(f \leqslant g\) (avec \(a \leqslant b\)), alors \(\int_a^b f \leqslant \int_a^b g\) ; on encadre avec \(m(b-a) \leqslant \int_a^b f \leqslant M(b-a)\).
- Valeur moyenne : \(\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\).
- Intégration par parties : \(\int_a^b u^{\prime}v = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b uv^{\prime}\).
- Aire entre deux courbes : \(\int_a^b (f - g)\) avec \(f \geqslant g\) ; une aire est toujours positive.
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