Dérivation et convexité : exercices de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Dérivées usuelles ★★★

Calcule la dérivée de chaque fonction sur son ensemble de définition : \(f(x) = 5x^3 - 2x + 7\) ; \(g(x) = 4x^2 - \dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\) ; \(h(x) = 3\sqrt{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\) ; \(k(x) = 2\cos x - 3\sin x\).

2 Première composée ★★★

Dérive : \(f(x) = (2x + 1)^5\) ; \(g(x) = \mathrm{e}^{3x}\) ; \(h(x) = \sin(4x)\) ; \(k(x) = \ln(5x)\) pour \(x \gt 0\).

3 Lire un signe ★★★

La dérivée d’une fonction \(f\) est \(f'(x) = (x + 3)(x - 2)\). Étudie son signe et déduis-en les variations de \(f\).

4 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifie.

1. La dérivée de \(\mathrm{e}^{x^2}\) est \(\mathrm{e}^{x^2}\).
2. La fonction \(x \mapsto x^2\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).
3. La fonction \(\ln\) est convexe sur \(]0\,;+\infty[\).
4. Si \(f''(a) = 0\), alors la courbe de \(f\) a un point d’inflexion d’abscisse \(a\).

5 Dérivée seconde d’un polynôme ★★★

Soit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 2x\). Calcule \(f'\) et \(f''\), étudie la convexité de \(f\) et donne le point d’inflexion.

6 Équation d’une tangente ★★★

Soit \(f(x) = x^2 - 3x + 1\). Détermine l’équation de la tangente en \(a = 2\), puis étudie la position de la courbe par rapport à cette tangente.

7 Une cuvette et son minimum ★★★

Soit \(f(x) = \mathrm{e}^{x} - x\) sur \(\mathbb{R}\). Étudie les variations de \(f\), puis sa convexité.

8 Produit et composée ★★★

Soit \(f(x) = x\,\mathrm{e}^{-2x}\) sur \(\mathbb{R}\). Calcule \(f'(x)\), étudie les variations de \(f\) et donne son maximum.

9 Un logarithme composé ★★★

Soit \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\) sur \(\mathbb{R}\). Calcule \(f'\) et \(f''\), puis étudie variations et convexité. Donne les points d’inflexion.

10 Puissance d’un trinôme ★★★

Soit \(f(x) = (x^2 - 4x + 5)^3\). Montre que \(x^2 - 4x + 5 \gt 0\) pour tout réel \(x\), calcule \(f'(x)\) et déduis-en le minimum de \(f\).

11 Racine carrée composée ★★★

Soit \(f(x) = \sqrt{3x + 4}\) sur \(\left]-\dfrac{4}{3}\,;+\infty\right[\). Calcule \(f'\), donne l’équation de la tangente en \(a = 7\), puis montre que \(f\) est concave et compare la courbe à cette tangente.

12 Deux points d’inflexion ★★★

Soit \(f(x) = x^4 - 4x^3\). Calcule \(f'\) et \(f''\) puis étudie la convexité de \(f\). Précise les points d’inflexion.

13 Lire la courbe d’une dérivée ★★★

On donne ci-dessous la courbe de la dérivée \(f'\) d’une fonction \(f\), avec \(f'(x) = (x - 1)(x - 3)\).

1. Donne le signe de \(f'\) et les variations de \(f\).
2. Explique pourquoi \(f\) est concave sur \(]-\infty\,;2]\) et convexe sur \([2\,;+\infty[\).
3. La courbe de \(f\) admet-elle un point d’inflexion ?

14 L’enclos contre le mur ★★★

Un éleveur dispose de \(60\) m de clôture pour fermer un enclos rectangulaire adossé à un mur : seuls trois côtés sont clôturés. On note \(x\) la longueur en mètres des deux côtés perpendiculaires au mur, avec \(0 \leqslant x \leqslant 30\). Quelle valeur de \(x\) rend l’aire de l’enclos maximale ?

15 Un encadrement du logarithme ★★★

On considère \(f(x) = \ln x\) sur \(]0\,;+\infty[\).

1. Montre que \(f\) est concave.
2. Détermine la tangente en \(a = 1\) et déduis-en que \(\ln x \leqslant x - 1\) pour tout \(x \gt 0\).
3. Utilise ce résultat avec \(\dfrac{1}{x}\) pour montrer que \(\ln x \geqslant 1 - \dfrac{1}{x}\).
4. Encadre \(\ln 1{,}2\).

16 La boîte dans une feuille carrée ★★★

Dans une feuille carrée de \(36\) cm de côté, on découpe aux quatre coins des carrés de côté \(x\) cm, puis on replie pour obtenir une boîte sans couvercle, avec \(0 \lt x \lt 18\).

1. Montre que le volume vaut \(V(x) = x(36 - 2x)^2\).
2. Calcule \(V'(x)\) et factorise-la.
3. Déduis la valeur de \(x\) qui maximise le volume, et ce volume.

17 Sinus de 2x ★★★

Soit \(f(x) = \sin(2x)\) sur \([0\,;\pi]\). Étudie les variations de \(f\) (valeurs des extremums), sa convexité et ses points d’inflexion.

18 Exponentielle et deux inflexions ★★★

Soit \(f(x) = (x^2 - 2x)\,\mathrm{e}^{x}\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Montre que \(f'(x) = (x^2 - 2)\,\mathrm{e}^{x}\) et dresse le tableau de variations.
2. Montre que \(f''(x) = (x^2 + 2x - 2)\,\mathrm{e}^{x}\).
3. Étudie la convexité et donne les abscisses des points d’inflexion.

19 Coût moyen minimal ★★★

Un atelier fabrique chaque jour \(x\) centaines de pièces, avec \(1 \leqslant x \leqslant 20\). Le coût moyen par pièce, en euros, est \(f(x) = 0{,}5x + \dfrac{8}{x} + 3\). Combien de pièces faut-il produire pour que ce coût moyen soit minimal ? Quel est-il ? Vérifie la convexité de \(f\).

20 Quand la tangente traverse la courbe ★★★

Soit \(f(x) = (x - 1)^3 + 2\).

1. Calcule \(f'\) et \(f''\). Que vaut \(f'(1)\) ?
2. Donne l’équation de la tangente en \(1\) et étudie la position de la courbe par rapport à elle.
3. La fonction \(f\) admet-elle un extremum en \(1\) ? Explique.