20 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
1 Trois normes sur des vecteurs ★★★
Dans \(\mathbb{R}^2\), calculer \(N_1\), \(N_2\) et \(N_\infty\) du vecteur \(x = (3, -4)\). Faire de même dans \(\mathbb{R}^3\) pour \(y = (1, -2, 2)\), puis vérifier dans chaque cas l’encadrement \(N_\infty \le N_2 \le N_1 \le \sqrt{n}\,N_2\).
2 Norme ou pas ? ★★★
Pour chaque application \(N\) de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}_+\), dire si c’est une norme (justifier) :
a) \(N(x,y) = |x| + 3|y|\) ; b) \(N(x,y) = |x - y|\) ; c) \(N(x,y) = \sqrt{x^2 + 4y^2}\) ; d) \(N(x,y) = |xy|\).
3 Boules et aires ★★★
a) Dans \(\mathbb{R}\) muni de la valeur absolue, déterminer la boule ouverte \(B(2{,}5\ ;\ 1{,}5)\).
b) Dans \(\mathbb{R}^2\), décrire la boule fermée de centre \((1,-2)\) et de rayon \(3\) pour \(N_\infty\), pour \(N_1\) et pour \(N_2\), puis calculer leurs aires.
4 Adhérence, intérieur, frontière ★★★
Dans \(\mathbb{R}\), soit \(A = [-2,-1[\, \cup \,]0,1[\, \cup \{3\}\). Déterminer \(\mathring{A}\), \(\overline{A}\) et \(\mathrm{Fr}(A)\). La partie \(A\) est-elle ouverte ? fermée ?
5 Convergence dans le plan ★★★
Dans \((\mathbb{R}^2, N_\infty)\), on pose \(u_n = \left(\dfrac{n+1}{n},\ e^{-n}\right)\) pour \(n \ge 1\). Montrer que \((u_n)\) converge vers \(\ell = (1, 0)\) et trouver le plus petit entier \(N\) tel que \(N_\infty(u_n - \ell) \lt 0{,}01\) pour tout \(n \ge N\).
6 Trois normes de fonctions ★★★
Dans \(\mathcal{C}([0,1])\), soit \(h(t) = t^2\) et \(k(t) = t^3\). Calculer \(\|h - k\|_\infty\), \(\|h - k\|_1\) et \(\|h - k\|_2\).
7 Ouvert ou fermé par image réciproque ★★★
En utilisant la continuité de fonctions bien choisies, dire si les parties suivantes de \(\mathbb{R}^2\) sont ouvertes, fermées, ou aucun des deux : \(A = \{x^2 + y^2 \lt 9\}\) ; \(B = \{xy = 1\}\) ; \(C = \{x \ge 0,\ y \ge 0,\ x + y \le 2\}\) ; \(D = \{y \gt x^2\}\).
8 Comparer \(N_1\), \(N_2\), \(N_\infty\) sur \(\mathbb{R}^2\) ★★★
Montrer que pour tout \((x,y) \in \mathbb{R}^2\) : \(N_\infty \le N_2 \le N_1 \le \sqrt2\,N_2 \le 2N_\infty\). Pour chaque inégalité, indiquer un vecteur non nul qui réalise l’égalité.
9 Norme d’une forme linéaire ★★★
Pour \(f \in \mathcal{C}([0,1])\), on pose \(T(f) = \int_0^1 t\,f(t)\,dt\).
a) Montrer que \(T\) est continue pour \(\|\cdot\|_\infty\) et calculer \(\|T\|\).
b) Même question pour \(\|\cdot\|_1\) (on testera \(f_n(t) = t^n\)).
10 La dérivation n’est pas continue ★★★
Sur l’espace \(\mathbb{R}[X]\) muni de la norme \(\|P\| = \max_{[0,1]} |P|\), on note \(D(P) = P'\).
a) Calculer \(\|X^n\|\) et \(\|D(X^n)\|\) pour \(n \ge 1\).
b) En déduire que \(D\) n’est pas continue.
c) Pourquoi la restriction de \(D\) à \(\mathbb{R}_3[X]\) est-elle continue ?
11 Quelles parties sont compactes ? ★★★
Parmi les parties de \(\mathbb{R}^2\) suivantes, lesquelles sont compactes ? a) \([0,1] \times [2,3]\) ; b) \(\{x^2 + y^2 \lt 1\}\) ; c) \(\{x^2 + y^2 = 4\}\) ; d) \(\{xy = 1\}\) ; e) \(\{|x| + |y| \le 5\}\).
12 Extremum sur un cercle ★★★
Montrer que \(f(x,y) = 2x + 3y\) admet un maximum et un minimum sur le cercle \(x^2 + y^2 = 1\), et les calculer ainsi que les points où ils sont atteints.
13 Un ensemble non connexe par arcs ★★★
Soit \(A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : xy \ne 0\}\).
a) Montrer que \((1,1)\) et \((1,-1)\) ne peuvent pas être reliés par un chemin dans \(A\).
b) Montrer que \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\) est connexe par arcs.
14 Suite de Cauchy dans \(\mathbb{Q}\) ★★★
On définit \(x_0 = 1\) et \(x_{n+1} = \dfrac12\left(x_n + \dfrac2{x_n}\right)\).
a) Calculer \(x_1, x_2, x_3\) (fractions).
b) Calculer \(x_3^2 - 2\).
c) La suite converge dans \(\mathbb{R}\) vers \(\sqrt2\). En déduire que \(\mathbb{Q}\) n’est pas complet.
15 Ouvert et fermé dans \(\mathcal{C}([0,1])\) ★★★
Dans \((\mathcal{C}([0,1]), \|\cdot\|_\infty)\) :
a) Soit \(U = \{f : f(t) \gt 0\ \forall t \in [0,1]\}\). Pour \(f(t) = t^2 + \tfrac12\), montrer que \(B(f, \tfrac12) \subset U\). En déduire que \(U\) est ouvert.
b) Montrer que \(F = \{f : f(0) = 0\}\) est fermé.
c) Montrer que \(V = \{f : f \ge 0\}\) est fermé.
16 Normes non équivalentes ★★★
Dans \(\mathcal{C}([0,1])\), on considère \(f_n(t) = t^n\).
a) Calculer \(\|f_n\|_\infty\), \(\|f_n\|_1\), \(\|f_n\|_2\).
b) Montrer que \(\|\cdot\|_\infty\) n’est équivalente ni à \(\|\cdot\|_1\) ni à \(\|\cdot\|_2\).
c) Montrer que \(\|f\|_1 \le \|f\|_2 \le \|f\|_\infty\) pour toute \(f\).
17 Norme d’une matrice et groupe linéaire ★★★
On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme euclidienne et \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) de la norme subordonnée \(\|M\| = \sup_{N_2(x) = 1} N_2(Mx)\). Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).
a) Calculer \(\|A\|\) (on rappelle que \(\|A\|^2\) est la plus grande valeur propre de \(A^TA\)).
b) Montrer que \(GL_2(\mathbb{R})\) est un ouvert de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
c) Montrer qu’il n’est pas connexe par arcs.
18 La boule unité n’est pas compacte ★★★
Sur \(\mathbb{R}[X]\), on pose \(\|P\| = \max_i |a_i|\) pour \(P = \sum a_i X^i\) (c’est une norme). Soit \(e_n = X^n\).
a) Calculer \(\|e_n\|\) et \(\|e_n - e_m\|\) pour \(n \ne m\).
b) En déduire que la boule unité fermée n’est pas compacte.
19 Point fixe de \(x \mapsto \tfrac12 \cos x\) ★★★
Soit \(f(x) = \tfrac12 \cos x\) sur \(\mathbb{R}\) et \(u_0 = 0\), \(u_{n+1} = f(u_n)\).
a) Montrer que \(f\) est \(\tfrac12\)-lipschitzienne et que \(f\) admet un unique point fixe \(\ell\).
b) Montrer que \(|u_n - \ell| \le 2^{-n}\).
c) Combien d’itérations garantissent une erreur inférieure à \(10^{-6}\) ?
20 Distance à une boule ★★★
Soit \((E, \|\cdot\|)\) un evn et \(x\) un vecteur avec \(\|x\| \gt 1\). Montrer que la distance de \(x\) à la boule unité fermée \(B_f(0,1)\) vaut \(\|x\| - 1\). Application : pour \(x = (3,4)\), donner cette distance dans \((\mathbb{R}^2, N_1)\), \((\mathbb{R}^2, N_2)\) et \((\mathbb{R}^2, N_\infty)\), chaque fois pour la boule de la même norme.
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