Suites et séries de fonctions : corrigé du contrôle de maths Maths Spé

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Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.

Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice autorisée seulement quand l’énoncé le précise.

Sommaire

Si \(x = 0\), \(f_n(0) = 0\) ; si \(x \neq 0\), \(n x^2 \to +\infty\) donc \(f_n(x) \to 0\). Limite : la fonction nulle. (1 pt)
\(f_n'(x) = e^{-nx^2}(1 - 2nx^2)\), nulle en \(x = \dfrac{1}{\sqrt{2n}}\) ; \(f_n\) croît puis décroît sur \([0,+\infty[\) (limite \(0\)). Le maximum vaut \(f_n\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{2n}}\right) = \dfrac{e^{-1/2}}{\sqrt{2n}}\) ; la fonction étant impaire, \(\|f_n\|_\infty = \dfrac{e^{-1/2}}{\sqrt{2n}}\). (2 pts)
\(\|f_n\|_\infty \to 0\) : convergence uniforme sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)

Si \(0 \leqslant x < 1\), \(f_n(x) \to 1\) ; si \(x = 1\), \(f_n(1) = \tfrac12\) ; si \(x > 1\), \(f_n(x) \to 0\). (1 pt)
Les \(f_n\) sont continues et la limite est discontinue en \(1\) : la convergence n’est pas uniforme sur \([0,2]\). (1 pt)
Sur \([0,\tfrac12]\), \(|f_n(x) - 1| = \dfrac{x^n}{1 + x^n} \leqslant x^n \leqslant 2^{-n} \to 0\). (1 pt)
Sur \([\tfrac32,2]\), \(|f_n(x) - 0| = \dfrac{1}{1 + x^n} \leqslant \dfrac{1}{x^n} \leqslant \left(\tfrac23\right)^n \to 0\). (1 pt)

\(\|u_n\|_\infty = \dfrac{1}{n^2+1} \leqslant \dfrac{1}{n^2}\), série convergente. (1 pt)
Les \(u_n\) sont continues et la convergence est uniforme : \(S\) est continue sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)
Intégration terme à terme sur le segment \([0,\pi]\) : \(\int_0^\pi \dfrac{\cos(nx)}{n^2+1}dx = \dfrac{\sin(n\pi)}{n(n^2+1)} = 0\). Donc \(\int_0^\pi S = 0\). (1 pt)

\(u_n'(x) = -\dfrac{\sin(nx)}{n^2}\), \(\|u_n'\|_\infty = \dfrac{1}{n^2}\), série convergente. (1 pt)
\(\sum u_n\) converge simplement (\(|u_n| \leqslant 1/n^3\)) et \(\sum u_n'\) converge uniformément : \(S\) est \(C^1\) et \(S'(x) = -\sum_{n \geqslant 1}\dfrac{\sin(nx)}{n^2}\). (1 pt)
\(S'(0) = 0\). Pour \(x = \tfrac{\pi}{2}\), \(\sin(\tfrac{n\pi}{2})\) vaut \(1, 0, -1, 0, \dots\), d’où \(S'(\tfrac\pi2) = -\left(1 - \dfrac19 + \dfrac1{25} - \dfrac1{49} + \cdots\right)\). (1 pt)

Pour \(x \in\,]0,1]\), \(f_n(x) = x + \dfrac1n\ln(1 + e^{-nx}) \to x\) ; en \(0\), \(f_n(0) = \dfrac{\ln 2}{n} \to 0\). Donc \(f(x) = x\) sur \([0,1]\). (1 pt)
Pour \(x \in [0,1]\), \(f_n(x) - x = \dfrac1n\ln(1 + e^{-nx}) \in \left[0,\dfrac{\ln 2}{n}\right]\) car \(0 < e^{-nx} \leqslant 1\). (1 pt)
La convergence est uniforme sur le segment \([0,1]\) et les \(f_n\) sont continues : \(\int_0^1 f_n \to \int_0^1 x\,dx = \dfrac12\). (1 pt)

\(B_2(f)(x) = 0 + 2\cdot\tfrac14\,x(1-x) + 1\cdot x^2 = x^2 + \dfrac{x(1-x)}{2}\) : on retrouve la formule avec \(n = 2\). (1 pt)
\(B_n(f)(x) - f(x) = \dfrac{x(1-x)}{n} \geqslant 0\), maximal en \(x = \tfrac12\) : \(\|B_n(f) - f\|_\infty = \dfrac{1}{4n}\). (1 pt)
\(\dfrac{1}{4n} \leqslant 10^{-2} \iff n \geqslant 25\). Le plus petit entier est \(n = 25\). (1 pt)

Entraîne-toi : défi express de Maths Spé