Séries entières : exercices corrigés de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Une série géométrique en x/3 ★★★

On a \(a_n=3^{-n}\) et \(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac13\), donc \(R=3\). Plus directement, \(\sum (x/3)^n\) est géométrique de raison \(x/3\), convergente si et seulement si \(|x|\lt3\).

Pour \(x=1{,}5\), la raison vaut \(\dfrac12\) et la somme est \(\dfrac{1}{1-1/2}=2\).

2 Rayon 1 et bornes ★★★

Avec \(a_n=\dfrac{n+1}{n+4}\), \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+2)(n+4)}{(n+5)(n+1)}\to1\), donc \(R=1\).

En \(x=\pm1\), \(|a_nx^n|=\dfrac{n+1}{n+4}\to1\neq0\) : le terme général ne tend pas vers 0, la série diverge grossièrement aux deux bornes. Le domaine de convergence est exactement \(]-1\,;1[\).

3 Série de l’exponentielle ★★★

\(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n!}{(n+1)!}=\dfrac1{n+1}\to0\), donc \(R=+\infty\).

En \(x=1\) : \(1+1+\dfrac12+\dfrac16+\dfrac1{24}=\dfrac{65}{24}\approx2{,}7083\), valeur approchée par défaut de \(e\approx2{,}71828\).

4 Somme d’une série géométrique ★★★

Série géométrique de raison \(q=\dfrac x2\) avec \(|q|\lt1\) : \(S(x)=\dfrac{1}{1-x/2}=\dfrac{2}{2-x}\).

\(S(1)=\dfrac{2}{1}=2\) et \(S(-1)=\dfrac23\).

5 Vrai ou faux ★★★

1. Vrai. Si \(\sum a_n\) converge, \((a_n\cdot1^n)\) tend vers 0, donc est bornée ; le lemme d’Abel donne \(R\geq1\).
2. Faux. Avec \(a_n=\dfrac1{n2^n}\) (\(n\geq1\)), le rayon vaut 2 (d’Alembert : quotient \(\to\frac12\)), mais \(\sum a_n2^n=\sum\dfrac1n\) diverge.
3. Vrai. \(\left|\dfrac{(n+1)!}{n!}\right|=n+1\to+\infty\), donc \(R=\dfrac1{+\infty}=0\).

6 Développer 1/(1 + x²) ★★★

En posant \(t=-x^2\) dans \(\dfrac1{1-t}=\sum t^n\) (valable si \(|t|\lt1\)), on obtient \(\dfrac1{1+x^2}=\sum_{n\geq0}(-1)^nx^{2n}\), de rayon \(R=1\).

En \(x=\dfrac12\), la somme vaut \(\dfrac1{1+1/4}=\dfrac45=0{,}8\). Les quatre premiers termes donnent \(1-\dfrac14+\dfrac1{16}-\dfrac1{64}=\dfrac{51}{64}\approx0{,}7969\).

7 Dériver une série géométrique ★★★

Pour \(|x|\lt1\) : \(\sum_{n\geq1}nx^{n-1}=\dfrac1{(1-x)^2}\). En multipliant par \(x\) : \(\sum_{n\geq1}nx^n=\dfrac{x}{(1-x)^2}\).

Pour \(x=\dfrac12\) : \(\sum_{n\geq1}\dfrac n{2^n}=\dfrac{1/2}{(1/2)^2}=2\).

8 Coefficients binomiaux centraux ★★★

Avec \(a_n=\binom{2n}{n}=\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}\) :
\[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}=\dfrac{2(2n+1)}{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}4.\]
D’après d’Alembert, \(R=\dfrac14\).

9 Une série lacunaire et sa somme ★★★

1. On pose \(u=x^2/4\). La série \(\sum\dfrac{u^n}{n+1}\) a pour rayon 1 en \(u\) (quotient \(\frac{n+1}{n+2}\to1\)). La série converge si \(\dfrac{x^2}4\lt1\), c’est-à-dire \(|x|\lt2\) : \(R=2\).
2. Pour \(|u|\lt1\), \(u\neq0\) : \(\sum_{n\geq0}\dfrac{u^n}{n+1}=\dfrac1u\sum_{n\geq0}\dfrac{u^{n+1}}{n+1}=-\dfrac{\ln(1-u)}{u}\). Donc \(f(x)=-\dfrac{4}{x^2}\ln\left(1-\dfrac{x^2}4\right)\).
   Pour \(x=1\) : \(f(1)=-4\ln\dfrac34=4\ln\dfrac43\approx1{,}1507\).

10 Fractions rationnelles ★★★

Décomposition. \(\dfrac1{(1-x)(1-2x)}=\dfrac{2}{1-2x}-\dfrac1{1-x}\) (on vérifie : \(2(1-x)-(1-2x)=1\)). Donc \(c_n=2\cdot2^n-1=2^{n+1}-1\), pour \(|x|\lt\dfrac12\).

Produit de Cauchy. Avec \(a_k=1\), \(b_k=2^k\) : \(c_n=\sum_{k=0}^n2^k=2^{n+1}-1\). On retrouve le même résultat, par exemple \(c_3=15\).

Le rayon vaut \(R=\dfrac12\) (pôle le plus proche de 0 : \(x=\frac12\)).

11 Somme par produit de Cauchy ★★★

Le produit de Cauchy de \(\sum x^n\) par elle-même a pour coefficient \(c_n=\sum_{k=0}^n1\cdot1=n+1\), et \(\left(\dfrac1{1-x}\right)^2=\dfrac1{(1-x)^2}\).

Pour \(x=\dfrac13\) : \(\sum\dfrac{n+1}{3^n}=\dfrac1{(2/3)^2}=\dfrac94\).

Comme \(\sum_{n\geq0}\dfrac1{3^n}=\dfrac32\), on obtient \(\sum_{n\geq1}\dfrac n{3^n}=\sum\dfrac{n+1}{3^n}-\sum\dfrac1{3^n}=\dfrac94-\dfrac32=\dfrac34\).

12 Valeur approchée de ln(3/2) ★★★

Par intégration de \(\sum(-1)^nt^n\) : \(\ln(1+x)=\sum_{n\geq1}(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}\), \(|x|\lt1\). Pour \(x=\dfrac12\) :
\[\dfrac12-\dfrac18+\dfrac1{24}-\dfrac1{64}+\dfrac1{160}\approx0{,}4073.\]
La série est alternée, à termes décroissants en valeur absolue vers 0 : l’erreur est majorée par le terme suivant, \(\dfrac1{6\cdot2^6}=\dfrac1{384}\approx0{,}0026\). (Valeur exacte : \(\ln1{,}5\approx0{,}4055\).)

13 Somme de n² x^n ★★★

On dérive : \(\sum_{n\geq1}n^2x^{n-1}=\left(\dfrac{x}{(1-x)^2}\right)'=\dfrac{(1-x)^2+2x(1-x)}{(1-x)^4}=\dfrac{1+x}{(1-x)^3}\).

On multiplie par \(x\) : \(\sum_{n\geq1}n^2x^n=\dfrac{x(1+x)}{(1-x)^3}\).

Pour \(x=\dfrac13\) : \(\dfrac{\frac13\cdot\frac43}{\frac8{27}}=\dfrac49\cdot\dfrac{27}8=\dfrac32\).

14 Sommes liées à ch 1 et sh 1 ★★★

En \(x=1\), les développements de \(\operatorname{ch}\) et \(\operatorname{sh}\) donnent :
\[\sum\dfrac1{(2n)!}=\operatorname{ch}1=\dfrac{e+e^{-1}}2\approx1{,}5431,\qquad\sum\dfrac1{(2n+1)!}=\operatorname{sh}1=\dfrac{e-e^{-1}}2\approx1{,}1752.\]
Vérification : la somme vaut \(e\) (somme de tous les \(\frac1{n!}\)) et \(1{,}5431+1{,}1752\approx2{,}7183\).

15 Équation y″ − 4y = 0 ★★★

Avec \(y=\sum a_nx^n\) : \(y''=\sum(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n\). L’équation donne \((n+2)(n+1)a_{n+2}=4a_n\). Les conditions initiales fournissent \(a_0=0\), \(a_1=2\). Donc tous les coefficients pairs sont nuls, et \(a_{2p+3}=\dfrac{4\,a_{2p+1}}{(2p+3)(2p+2)}\), d’où \(a_{2p+1}=\dfrac{2\cdot4^p}{(2p+1)!}\).

Le rayon est \(+\infty\) et \(y(x)=\sum_{p\geq0}\dfrac{(2x)^{2p+1}}{(2p+1)!}=\operatorname{sh}(2x)\).

16 Équation (1 + x) y′ = y/2 ★★★

1. \((1+x)\sum na_nx^{n-1}=\sum(n+1)a_{n+1}x^n+\sum na_nx^n=\dfrac12\sum a_nx^n\). Donc \((n+1)a_{n+1}=\left(\dfrac12-n\right)a_n\). Avec \(a_0=1\) : \(a_1=\dfrac12\), \(a_2=-\dfrac18\), \(a_3=\dfrac1{16}\). Le quotient \(\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{|1/2-n|}{n+1}\to1\) : \(R=1\).
2. La fonction \(z(x)=\sqrt{1+x}\) vérifie \((1+x)z'=\dfrac{\sqrt{1+x}}2=\dfrac z2\) et \(z(0)=1\) ; par unicité de Cauchy–Lipschitz sur \(]-1\,;+\infty[\), \(y=\sqrt{1+x}\).
   Pour \(x=0{,}1\) : \(1+0{,}05-0{,}00125+0{,}0000625=1{,}0488125\) (valeur exacte \(\approx1{,}0488088\)).

17 Une fonction C∞ non développable ★★★

Les coefficients de Taylor sont \(a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}=0\) pour tout \(n\) : la série de Taylor est la série nulle, de rayon \(+\infty\) et de somme identiquement nulle.

Or \(f(x)=e^{-1/x^2}\gt0\) pour tout \(x\neq0\) (par exemple \(f(1)=e^{-1}\neq0\)). Aucune série entière ne peut avoir pour somme \(f\) sur un voisinage de 0 : ses coefficients seraient forcément ceux de Taylor, c’est-à-dire nuls. Donc \(f\) est \(\mathcal{C}^\infty\) sans être développable en série entière.

18 Exponentielle complexe et équation ★★★

1. \(e^{2+i\pi/3}=e^2\left(\cos\dfrac\pi3+i\sin\dfrac\pi3\right)=e^2\left(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2\right)=\dfrac{e^2}2+i\dfrac{\sqrt3\,e^2}2\).
2. \(1+i\sqrt3\) a pour module 2 et pour argument \(\dfrac\pi3\) : \(1+i\sqrt3=2e^{i\pi/3}=e^{\ln2+i\pi/3}\). Donc \(z=\ln2+\dfrac{i\pi}3+2ik\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).
3. Avec \(z=x+iy\) : \(e^z=e^xe^{iy}\) et \(|e^{iy}|=\sqrt{\cos^2y+\sin^2y}=1\). Donc \(|e^z|=e^x\).

19 Rayon de Σ n!/nⁿ xⁿ ★★★

\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\dfrac{n^n}{n!}=\dfrac{n^n}{(n+1)^n}=\left(1+\dfrac1n\right)^{-n}\to e^{-1}\). Donc \(R=e\approx2{,}718\).

Comme \(3\gt e\), la série diverge en \(x=3\) (divergence grossière : \(|a_n3^n|\to+\infty\)).

20 La série de argth ★★★

1. \(S'\) a pour terme \(x^{2n}\) : \(\sum x^{2n}\) a pour rayon 1, donc \(S\) aussi (même rayon que sa dérivée). \(R=1\).
2. \(S'(x)=\sum x^{2n}=\dfrac1{1-x^2}=\dfrac12\left(\dfrac1{1+x}+\dfrac1{1-x}\right)\). Comme \(S(0)=0\) : \(S(x)=\dfrac12\ln\dfrac{1+x}{1-x}\).
3. \(S\left(\dfrac12\right)=\dfrac12\ln\dfrac{3/2}{1/2}=\dfrac12\ln3\approx0{,}5493\).

21 Une équation à coefficient variable ★★★

On écrit \(y''=\sum(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n\), \(2xy'=\sum2na_nx^n\), \(2y=\sum2a_nx^n\). L’identification donne \((n+2)(n+1)a_{n+2}=(2n+2)a_n\), soit \(a_{n+2}=\dfrac{2a_n}{n+2}\).

Avec \(a_0=0\), \(a_1=1\) : \(a_2=0\), \(a_3=\dfrac23\), \(a_4=0\), \(a_5=\dfrac{2\cdot\frac23}{5}=\dfrac4{15}\).

Pour \(n\) impair, \(\dfrac{a_{n+2}}{a_n}=\dfrac2{n+2}\to0\) : en posant \(t=x^2\), la série en \(t\) est de rayon infini, donc \(R=+\infty\).