1 Rayons de convergence / 4 pts
Déterminer le rayon de convergence de : a) \(\sum\dfrac{2n+1}{5^n}x^n\) ; b) \(\sum\dfrac{4^n}{n^2+1}x^n\) (étudier aussi le bord) ; c) \(\sum\dfrac{n!}{n^n}x^n\).
2 Une somme à calculer / 3 pts
1) Rappeler la somme de \(\sum_{n\ge0}x^n\) pour \(|x|<1\). 2) Par dérivations successives, calculer \(\sum_{n\ge0}n^2x^n\). 3) En déduire \(\sum_{n\ge0}\dfrac{n^2}{2^n}\).
3 Fractions rationnelles / 4 pts
Développer en série entière \(f(x)=\dfrac1{x^2-5x+6}\) et donner le rayon de convergence.
4 Intégration terme à terme / 4 pts
1) Développer \(\dfrac{2x}{1+x^2}\) en série entière. 2) En déduire celui de \(\ln(1+x^2)\) et son rayon. 3) Calculer \(\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n\,4^n}\).
5 Équation différentielle / 5 pts
On considère \(y''=xy\), \(y(0)=1\), \(y'(0)=0\). 1) Établir la relation de récurrence sur les coefficients d’une solution \(y=\sum a_nx^n\). 2) Calculer \(a_0,\dots,a_6\). 3) Montrer que le rayon est infini.
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