Intégrales généralisées et à paramètre : exercices corrigés de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Une intégrale de Riemann ★★★

Pour \(X\ge1\), \(\displaystyle\int_1^X t^{-3}dt=\left[-\dfrac1{2t^2}\right]_1^X=\dfrac12-\dfrac1{2X^2}\).

Quand \(X\to+\infty\), ce terme tend vers \(\dfrac12\). L’intégrale converge et vaut \(\dfrac12\).

2 Une racine à l’origine ★★★

Pour \(0<\varepsilon<1\), \(\displaystyle\int_\varepsilon^1t^{-1/2}dt=\left[2\sqrt t\right]_\varepsilon^1=2-2\sqrt\varepsilon\).

Quand \(\varepsilon\to0^+\), la limite est \(2\) : l’intégrale converge et vaut \(2\) (ici \(\alpha=\tfrac12<1\)).

3 Exponentielle décroissante ★★★

\(\displaystyle\int_0^Xe^{-5t}dt=\left[-\dfrac{e^{-5t}}5\right]_0^X=\dfrac{1-e^{-5X}}5\to\dfrac15\).

L’intégrale converge et vaut \(\dfrac15\).

4 Trois intégrales de Riemann ★★★

\(A\) : \(\alpha=\tfrac32>1\), converge ; \(\displaystyle\int_1^X t^{-3/2}dt=2-\dfrac2{\sqrt X}\to2\), donc \(A=2\).

\(B\) : \(\alpha=\tfrac12\le1\) en \(+\infty\), diverge (\(\int_1^X t^{-1/2}dt=2\sqrt X-2\to+\infty\)).

\(C\) : \(\alpha=\tfrac32\ge1\) en \(0\), diverge.

5 Vrai ou faux ★★★

1. Faux : \(f(t)=\dfrac1t\) tend vers \(0\) mais \(\int_1^{X}\dfrac{dt}t=\ln X\to+\infty\).
2. Vrai : c’est le théorème « convergence absolue implique convergence » ; de plus \(\left|\int f\right|\le\int|f|\).

6 Valeurs de Gamma ★★★

\(\Gamma(5)=4!=24\).

\(\Gamma\!\left(\tfrac72\right)=\tfrac52\cdot\tfrac32\cdot\tfrac12\,\Gamma\!\left(\tfrac12\right)=\dfrac{15}{8}\sqrt\pi\approx3{,}32\).

7 Deux intégrales avec exponentielle ★★★

La première vaut \(\Gamma(2)=1\).

Avec \(u=2t\) : \(\displaystyle\int_0^{+\infty}t^3e^{-2t}dt=\dfrac1{2^4}\int_0^{+\infty}u^3e^{-u}du=\dfrac{\Gamma(4)}{16}=\dfrac6{16}=\dfrac38\).

8 Logarithme et intégration par parties ★★★

Primitive de \(\ln t\) : \(t\ln t-t\). Entre \(\varepsilon\) et \(1\) : \(-1-\varepsilon\ln\varepsilon+\varepsilon\to-1\).

Par parties, \(\displaystyle\int_\varepsilon^1t^3\ln t\,dt=\left[\dfrac{t^4}4\ln t-\dfrac{t^4}{16}\right]_\varepsilon^1=-\dfrac1{16}-\dfrac{\varepsilon^4}{4}\ln\varepsilon+\dfrac{\varepsilon^4}{16}\to-\dfrac1{16}\).

9 Arctangente ★★★

\(\displaystyle\int_0^X\dfrac{dt}{1+t^2}=\arctan X\to\dfrac\pi2\).

Une primitive de \(\dfrac1{t^2+4}\) est \(\dfrac12\arctan\dfrac t2\). Sur chaque demi-droite on trouve \(\dfrac12\cdot\dfrac\pi2=\dfrac\pi4\), donc l’intégrale sur \(\mathbb{R}\) converge et vaut \(\dfrac\pi4+\dfrac\pi4=\dfrac\pi2\).

10 Comparaison et équivalents ★★★

Première : fonction positive, équivalente à \(\dfrac{2}{t^2}\) en \(+\infty\), intégrable ; l’intégrale converge.

Seconde : en \(0\), \(\dfrac{e^{-t}}{\sqrt t}\sim\dfrac1{\sqrt t}\) (\(\alpha=\tfrac12<1\)), intégrable ; en \(+\infty\), \(\dfrac{e^{-t}}{\sqrt t}\le e^{-t}\) pour \(t\ge1\), intégrable. L’intégrale converge, et elle vaut \(\Gamma\!\left(\tfrac12\right)=\sqrt\pi\).

11 Intégrales de Bertrand ★★★

Une primitive de \(\dfrac1{t\ln t}\) est \(\ln(\ln t)\), qui tend vers \(+\infty\) : la première diverge.

Une primitive de \(\dfrac1{t(\ln t)^2}\) est \(-\dfrac1{\ln t}\) : \(\displaystyle\int_2^X=\dfrac1{\ln2}-\dfrac1{\ln X}\to\dfrac1{\ln2}\). La seconde converge et vaut \(\dfrac1{\ln2}\approx1{,}44\).

12 Semi-convergence ★★★

\(\left|\dfrac{\sin t}{t^2}\right|\le\dfrac1{t^2}\), intégrable : convergence absolue.

Par parties, \(\displaystyle\int_1^X\dfrac{\sin t}tdt=\cos1-\dfrac{\cos X}X-\int_1^X\dfrac{\cos t}{t^2}dt\). Le terme \(\dfrac{\cos X}X\to0\) et \(\int_1^{+\infty}\dfrac{\cos t}{t^2}dt\) converge absolument, donc la limite existe : l’intégrale converge.

13 Convergence dominée simple ★★★

Pour \(t\) fixé, \(\dfrac{e^{-t}}{1+t/n}\to e^{-t}\). De plus \(0\le\dfrac{e^{-t}}{1+t/n}\le e^{-t}\), intégrable sur \([0\,;+\infty[\) et indépendante de \(n\).

Par convergence dominée, \(I_n\to\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=1\).

14 Moments de logarithme ★★★

Par parties avec \(u=\ln t\), \(v'=t^n\) : \(\displaystyle\int_\varepsilon^1t^n\ln t\,dt=\left[\dfrac{t^{n+1}}{n+1}\ln t\right]_\varepsilon^1-\dfrac1{n+1}\int_\varepsilon^1t^ndt\).

Le crochet vaut \(-\dfrac{\varepsilon^{n+1}\ln\varepsilon}{n+1}\to0\), et \(\displaystyle\int_0^1t^ndt=\dfrac1{n+1}\). D’où le résultat \(-\dfrac1{(n+1)^2}\).

15 Continuité d’une intégrale à paramètre ★★★

Pour tout \(x\ge0\) et \(t\ge0\), \(0\le\dfrac{e^{-xt}}{1+t^2}\le\dfrac1{1+t^2}\), intégrable sur \([0\,;+\infty[\). La fonction \(x\mapsto\dfrac{e^{-xt}}{1+t^2}\) est continue : \(F\) est définie et continue sur \([0\,;+\infty[\).

\(F(0)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{dt}{1+t^2}=\dfrac\pi2\).

Pour \(t>0\), \(e^{-xt}\to0\) quand \(x\to+\infty\) ; la domination par \(\dfrac1{1+t^2}\) reste valable, donc \(F(x)\to0\).

16 Dérivation sous le signe intégral ★★★

Fixons \(a>0\) et \(x\ge a\) : \(\left|\dfrac{\partial}{\partial x}\left(e^{-xt}\dfrac{\sin t}t\right)\right|=|\sin t|\,e^{-xt}\le e^{-at}\), intégrable. Donc \(F\) est \(C^1\) sur \([a\,;+\infty[\) pour tout \(a>0\), donc sur \(]0\,;+\infty[\).

\(F'(x)=-\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-xt}\sin t\,dt=-\dfrac1{1+x^2}\) (partie imaginaire de \(\dfrac1{x-i}\)).

Donc \(F(x)=C-\arctan x\). Comme \(|F(x)|\le\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-xt}dt=\dfrac1x\to0\), on a \(C=\dfrac\pi2\), puis \(F(x)=\dfrac\pi2-\arctan x\) et \(F(1)=\dfrac\pi4\).

17 Gamma et intégrale gaussienne ★★★

Par parties sur \([\varepsilon\,;X]\) : \(\displaystyle\int t^xe^{-t}dt=[-t^xe^{-t}]+x\int t^{x-1}e^{-t}dt\). Le crochet tend vers \(0\) aux deux bornes, d’où \(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\).

Avec \(t=u^2\) : \(\Gamma\!\left(\tfrac12\right)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{-1/2}e^{-t}dt=2\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=\sqrt\pi\).

Pour \(u^4e^{-u^2}\), le changement \(t=u^2\) donne \(\dfrac12\Gamma\!\left(\tfrac52\right)=\dfrac12\cdot\dfrac{3\sqrt\pi}4=\dfrac{3\sqrt\pi}8\).

18 Une somme de Basel par intégrale ★★★

Pour \(t\in]0\,;1[\), \(\dfrac{-\ln t}{1-t}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-\ln t)\,t^n\), termes positifs.

On a \(\displaystyle\int_0^1(-\ln t)t^ndt=\dfrac1{(n+1)^2}\) (exercice « Moments de logarithme »), dont la série converge : le théorème d’intégration terme à terme s’applique.

Donc \(\displaystyle\int_0^1\dfrac{-\ln t}{1-t}dt=\sum_{n\ge0}\dfrac1{(n+1)^2}=\dfrac{\pi^2}6\), d’où le résultat.

19 Un contre-exemple de domination ★★★

\(\displaystyle\int_0^{+\infty}ne^{-nt}dt=1\) pour tout \(n\), alors que pour \(t>0\), \(f_n(t)\to0\). Donc \(\lim\int f_n=1\ne0=\int\lim f_n\) : on ne peut pas échanger.

Soit \(\varphi\) dominant tous les \(f_n\) et \(t\in]0\,;1]\). Avec \(n=\lceil1/t\rceil\) on a \(\dfrac1t\le n\le\dfrac1t+1\le\dfrac2t\), donc \(nt\le2\) et \(\varphi(t)\ge n e^{-nt}\ge\dfrac{e^{-2}}t\). Or \(\int_0^1\dfrac{dt}t\) diverge, donc \(\varphi\) n’est pas intégrable : contradiction.

20 Convexité de Gamma ★★★

L’intégrande de \(\Gamma''\) est positif, continu, non identiquement nul : \(\Gamma''(x)>0\). Donc \(\Gamma\) est strictement convexe et \(\Gamma'\) est strictement croissante.

Comme \(\Gamma(1)=\Gamma(2)=1\), le théorème de Rolle fournit \(x_0\in]1\,;2[\) avec \(\Gamma'(x_0)=0\) : c’est l’unique point où \(\Gamma'\) s’annule, donc un minimum global.

Écrivons \(x_0=\lambda\cdot1+(1-\lambda)\cdot2\) avec \(\lambda\in]0\,;1[\). Par stricte convexité, \(\Gamma(x_0)<\lambda\Gamma(1)+(1-\lambda)\Gamma(2)=1\). Numériquement, \(x_0\approx1{,}46\) et \(\Gamma(x_0)\approx0{,}886\).