1 Dérivées partielles et hessienne / 4 pts
Soit \(f(x,y) = x^3y - 2xy^2 + 4y\).
- Calculer \(f_x\) et \(f_y\). (1 pt)
- Calculer \(f_{xx}\), \(f_{xy}\), \(f_{yx}\), \(f_{yy}\) et vérifier le théorème de Schwarz. (2 pts)
- Écrire la hessienne en \((1,2)\). (1 pt)
2 Dérivée composée / 4 pts
Soit \(f(x,y) = x^2 - xy\) et \(\gamma(t) = (e^t,\ t)\), \(h = f \circ \gamma\).
- Calculer \(h'(t)\) par la règle de la chaîne. (2 pts)
- Vérifier en explicitant \(h(t)\), puis donner \(h'(0)\). (2 pts)
3 Recherche d’extrema / 5 pts
Soit \(f(x,y) = x^3 + 2y^3 - 3x - 6y\).
- Calculer le gradient de \(f\). (1 pt)
- Déterminer les points critiques. (1 pt)
- Calculer la hessienne et classer chaque point. (3 pts)
4 Jacobienne et inversion locale / 4 pts
Soit \(F(x,y) = (x^3 + y,\ x + y^3)\).
- Calculer \(J_F(x,y)\) et son déterminant. (1 pt)
- Montrer que \(F\) est localement inversible en \((1,0)\). (1 pt)
- Calculer \(J_{F^{-1}}\) en \(F(1,0)\). (2 pts)
5 Fonction implicite / 3 pts
On considère la courbe \(x^2 + xy + y^2 = 7\) et le point \(A(2, 1)\).
- Vérifier que \(A\) appartient à la courbe et que le théorème des fonctions implicites s’applique. (1 pt)
- Donner l’équation de la tangente en \(A\). (2 pts)
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