Combien de grillage pour entourer un jardin ? Combien de peinture pour couvrir un mur ? Combien d’eau dans un aquarium ? Ces trois questions n’ont pas la même réponse, car elles parlent de trois grandeurs différentes : le périmètre (un tour), l’aire (une surface) et le volume (de la place dans l’espace). Dans ce chapitre, tu vas apprendre à les calculer et à ne plus les confondre.
1. Le périmètre du carré et du rectangle
Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour. On le mesure avec une unité de longueur : mm, cm, m, km…
Un rectangle a deux côtés de la longueur et deux côtés de la largeur. Un carré a quatre côtés égaux.
Rectangle : \( P = 2 \times (L + l) \) Carré : \( P = 4 \times c \)
Le rectangle \(ABCD\) mesure \(14\text{ cm}\) de longueur et \(9\text{ cm}\) de largeur.
\( P = 2 \times (14 + 9) = 2 \times 23 = 46 \). Le périmètre est de \(46\text{ cm}\).
2. Le périmètre du cercle
Le contour d’un cercle s’appelle sa circonférence, mais on parle aussi de son périmètre. Si tu fais le tour d’un cercle avec une ficelle puis que tu la tends, elle est un peu plus longue que trois diamètres. Ce nombre un peu plus grand que 3 s’appelle \(\pi\) (« pi ») et on utilise la valeur approchée \( \pi \approx 3{,}14 \).
\( P = \pi \times d \approx 3{,}14 \times d \) ou \( P = 2 \times \pi \times r \)
Une roue de vélo a un diamètre de \(70\text{ cm}\). Quand elle fait un tour, le vélo avance de :
\( 3{,}14 \times 70 = 219{,}8 \). La roue parcourt environ \(219{,}8\text{ cm}\) en un tour.
Sur ma planète, on vérifie toujours son résultat : le périmètre d’un cercle doit être un peu plus grand que 3 fois son diamètre. Si tu trouves moins, tu t’es trompé !
3. Les unités d’aire
L’aire d’une figure mesure la taille de sa surface. L’unité de base est le mètre carré (m²), un carré de \(1\text{ m}\) de côté. On utilise aussi le cm² (carré de 1 cm de côté), le dm², le km²…
Comme \(1\text{ m} = 10\text{ dm}\), un carré de \(1\text{ m}\) de côté contient \(10 \times 10 = 100\) carrés de \(1\text{ dm}\) de côté. Chaque unité d’aire est donc 100 fois plus grande que la suivante, et chaque colonne du tableau reçoit deux chiffres.
| km² | hm² | dam² | m² | dm² | cm² | mm² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 50 | 00 | ||||
Lecture du tableau : \(4\text{ m}^2 + 50\text{ dm}^2 = 4{,}5\text{ m}^2 = 450\text{ dm}^2 = 45\,000\text{ cm}^2\).
Pour les grands terrains, on utilise aussi l’are (\(1\text{ a} = 100\text{ m}^2\)) et l’hectare (\(1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2\)).
\(1\text{ m}^2\) vaut \(10\,000\text{ cm}^2\), et pas \(100\text{ cm}^2\) ! Le mètre carré contient 100 × 100 petits carrés d’un centimètre de côté.
4. L’aire du rectangle et du carré
Pour trouver l’aire d’un rectangle, on compte les carreaux d’une unité qui le recouvrent. Ici, \(5\) carreaux par rangée et \(3\) rangées : \(5 \times 3 = 15\) carreaux, soit \(15\text{ cm}^2\) si un carreau mesure \(1\text{ cm}\) de côté.
Rectangle : \( A = L \times l \) Carré : \( A = c \times c \)
Un terrain rectangulaire mesure \(24\text{ m}\) sur \(15\text{ m}\).
\( A = 24 \times 15 = 360 \). Son aire est de \(360\text{ m}^2\).
Un carré de \(9\text{ cm}\) de côté a pour aire \(9 \times 9 = 81\text{ cm}^2\).
Deux figures qui ont le même périmètre n’ont pas forcément la même aire. Un rectangle de \(8\text{ cm}\) sur \(2\text{ cm}\) et un carré de \(5\text{ cm}\) de côté ont tous deux un périmètre de \(20\text{ cm}\), mais leurs aires valent \(16\text{ cm}^2\) et \(25\text{ cm}^2\).
5. L’aire du triangle rectangle
Un triangle rectangle est la moitié d’un rectangle : on le complète avec un second triangle identique pour former un rectangle.
Triangle rectangle de côtés de l’angle droit \(a\) et \(b\) : \( A = \dfrac{a \times b}{2} \)
Un triangle rectangle a des côtés de l’angle droit de \(8\text{ cm}\) et \(5\text{ cm}\).
\( A = \dfrac{8 \times 5}{2} = \dfrac{40}{2} = 20 \). Son aire est de \(20\text{ cm}^2\).
6. L’aire du disque (valeur approchée)
Un disque de rayon \(5\text{ cm}\) est dessiné dans un carré de \(10\text{ cm}\) de côté. Le carré a une aire de \(100\text{ cm}^2\) : le disque en occupe un peu moins, environ les trois quarts.
\( A \approx 3{,}14 \times r \times r \) (le rayon \(r\) est multiplié deux fois)
Le disque a un rayon de \(5\text{ cm}\).
\( A \approx 3{,}14 \times 5 \times 5 = 3{,}14 \times 25 = 78{,}5 \). Son aire est d’environ \(78{,}5\text{ cm}^2\), ce qui est bien un peu moins que \(100\text{ cm}^2\).
Pour l’aire, on utilise le rayon, pas le diamètre. Si on te donne le diamètre, divise-le par 2 avant de calculer.
7. Le volume du pavé droit
Le volume d’un solide mesure la place qu’il occupe. L’unité de base est le mètre cube (m³), un cube de \(1\text{ m}\) d’arête. On utilise aussi le cm³ (cube de 1 cm d’arête) et le dm³.
Un pavé droit (une boîte) se remplit par couches de cubes identiques. Ici, il y a \(6\) cubes dans la longueur, \(4\) dans la largeur et \(3\) couches dans la hauteur.
\( V = L \times l \times h \)
Le pavé de la figure mesure \(6\text{ cm}\), \(4\text{ cm}\) et \(3\text{ cm}\).
\( V = 6 \times 4 \times 3 = 24 \times 3 = 72 \). Son volume est de \(72\text{ cm}^3\).
8. Les unités de volume et les litres
Chaque unité de volume est 1 000 fois plus grande que la suivante (\(10 \times 10 \times 10\)) : \(1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3 = 1\,000\,000\text{ cm}^3\). Le litre mesure une contenance, et il est lié aux unités de volume.
| Volume | Contenance |
|---|---|
| 1 dm³ | 1 L |
| 1 000 cm³ | 1 L |
| 1 cm³ | 1 mL |
| 1 m³ | 1 000 L |
Un aquarium mesure \(50\text{ cm}\) de long, \(30\text{ cm}\) de large et \(40\text{ cm}\) de haut.
\( V = 50 \times 30 \times 40 = 60\,000 \), soit \(60\,000\text{ cm}^3\). Or \(1\,000\text{ cm}^3 = 1\text{ L}\), donc l’aquarium contient \(60\text{ L}\).
- Je lis la question : « le tour », « la surface », « la place » ?
- Je choisis la formule : périmètre, aire ou volume.
- Je convertis toutes les mesures dans la même unité.
- Je calcule et j’écris la bonne unité : cm, cm² ou cm³.
À retenir
- Le périmètre est un contour (en cm, m…) : rectangle \(2 \times (L + l)\), carré \(4 \times c\), cercle \(3{,}14 \times d\).
- L’aire est une surface (en cm², m²…) : rectangle \(L \times l\), carré \(c \times c\), triangle rectangle \(\dfrac{a \times b}{2}\), disque \(3{,}14 \times r \times r\).
- Pour les unités d’aire, on passe d’une unité à la suivante en multipliant ou en divisant par 100 : \(1\text{ m}^2 = 10\,000\text{ cm}^2\).
- Le volume du pavé droit est \(L \times l \times h\), en cm³ ou m³.
- \(1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}\), \(1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}\) et \(1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ L}\).
Entraîne-toi : défi express de CM2
Automatismes CM2 : combien de réponses en 60 secondes ?
🚀 Zyro te conseille la suite
✏️ Exercices de mathsPérimètres, aires et volumes : exercices de maths CM2
📝 Contrôles de mathsPérimètres, aires et volumes : contrôle de maths CM2
🎯 QCM de mathsPérimètres, aires et volumes : QCM de maths CM2
✏️ Exercices de mathsGéométrie plane et solides : exercices de maths CM2
✏️ Exercices de mathsGrands nombres entiers : exercices de maths CM2
📝 Contrôles de mathsGéométrie plane et solides : contrôle de maths CM2