Systèmes de deux équations : exercices corrigés de maths 3ème à télécharger en PDF

1 Vocabulaire d’un système ★★★

1. Le système a deux inconnues, \(x\) et \(y\), et deux équations.
2. Pour \((6\,;\,3)\) : \(6 + 3 = 9\) et \(6 - 3 = 3\). Les deux équations sont vraies : c’est une solution.
   Pour \((5\,;\,4)\) : \(5 + 4 = 9\) est vrai, mais \(5 - 4 = 1 \neq 3\). Ce n’est pas une solution.

2 Trois couples à tester ★★★

Couple \((3\,;\,2)\) : \(2 \times 3 + 3 \times 2 = 12\) et \(3 - 2 = 1\) : solution.

Couple \((0\,;\,4)\) : \(0 + 12 = 12\), mais \(0 - 4 = -4 \neq 1\) : pas une solution.

Couple \((6\,;\,0)\) : \(12 + 0 = 12\), mais \(6 - 0 = 6 \neq 1\) : pas une solution.

3 Isoler une inconnue ★★★

1. \(2x + y = 7\) donne \(y = 7 - 2x\).
2. \(x - 4y = 8\) donne \(x = 8 + 4y\).

4 Une substitution directe ★★★

On remplace \(y\) par \(x + 4\) dans la seconde équation : \(2x + (x + 4) = 19\), donc \(3x + 4 = 19\) et \(3x = 15\), soit \(x = 5\).

Puis \(y = 5 + 4 = 9\). Vérification : \(2 \times 5 + 9 = 19\). La solution est \((5\,;\,9)\).

5 Une addition suffit ★★★

Les termes en \(y\) sont opposés. On additionne : \(2x = 20\), donc \(x = 10\).

Dans la première équation : \(10 + y = 14\), donc \(y = 4\). Vérification : \(10 - 4 = 6\). La solution est \((10\,;\,4)\).

6 Un nombre triple de l’autre ★★★

On remplace \(x\) par \(3y\) : \(3y + y = 20\), donc \(4y = 20\) et \(y = 5\).

Puis \(x = 3 \times 5 = 15\). Vérification : \(15 + 5 = 20\) et \(15 = 3 \times 5\). Les deux nombres sont \(15\) et \(5\).

7 Les pièces de Mona ★★★

1. Le nombre de pièces donne \(a + b = 15\). La somme d’argent donne \(a + 2b = 22\). Le système est \(\begin{cases} a + b = 15 \\ a + 2b = 22 \end{cases}\).
2. On soustrait la première équation à la seconde : \(b = 7\). Puis \(a = 15 - 7 = 8\). Vérification : \(8 + 2 \times 7 = 22\).
   Mona a \(8\) pièces de \(1\) € et \(7\) pièces de \(2\) €.

8 Isoler puis substituer ★★★

Dans la seconde équation, on isole \(y\) : \(y = 3x - 5\).

On remplace dans la première : \(x + 2(3x - 5) = 11\), donc \(x + 6x - 10 = 11\), \(7x = 21\) et \(x = 3\).

Puis \(y = 3 \times 3 - 5 = 4\). Vérification : \(3 + 2 \times 4 = 11\). La solution est \((3\,;\,4)\).

9 Une multiplication suffit ★★★

On multiplie la seconde équation par \(2\) : \(6x - 2y = 14\). Les termes en \(y\) sont opposés à ceux de la première équation.

On additionne : \(11x = 33\), donc \(x = 3\). Dans la seconde équation : \(9 - y = 7\), donc \(y = 2\).

Vérification : \(5 \times 3 + 2 \times 2 = 19\). La solution est \((3\,;\,2)\).

10 Deux multiplications ★★★

On multiplie la première équation par \(3\) et la seconde par \(2\) : \(6x + 15y = 69\) et \(6x - 4y = 12\).

On soustrait membre à membre : \(19y = 57\), donc \(y = 3\). Dans la première équation : \(2x + 15 = 23\), donc \(x = 4\).

Vérification : \(3 \times 4 - 2 \times 3 = 6\). La solution est \((4\,;\,3)\).

11 Des solutions négatives ★★★

On isole \(x\) dans la seconde équation : \(x = 3 + 2y\).

On remplace : \(2(3 + 2y) + 3y = -1\), donc \(6 + 4y + 3y = -1\), \(7y = -7\) et \(y = -1\).

Puis \(x = 3 + 2 \times (-1) = 1\). Vérification : \(2 \times 1 + 3 \times (-1) = -1\). La solution est \((1\,;\,-1)\).

12 Combien de pièces de chaque sorte ? ★★★

Soit \(p\) le nombre de pièces et \(b\) le nombre de billets. On obtient \(\begin{cases} p + b = 18 \\ 0{,}5p + 5b = 36 \end{cases}\).

On isole \(p = 18 - b\) et on remplace : \(0{,}5(18 - b) + 5b = 36\), soit \(9 - 0{,}5b + 5b = 36\), donc \(4{,}5b = 27\) et \(b = 6\).

Puis \(p = 18 - 6 = 12\). Vérification : \(0{,}5 \times 12 + 5 \times 6 = 6 + 30 = 36\). Il y a \(12\) pièces et \(6\) billets.

13 Un système sans solution ★★★

On multiplie la première équation par \(2\) : \(6x - 2y = 8\). Or la seconde équation affirme que \(6x - 2y = 9\).

Le même nombre \(6x - 2y\) ne peut pas être égal à la fois à \(8\) et à \(9\) : le système n’a aucune solution. Les droites \(y = 3x - 4\) et \(y = 3x - 4{,}5\) sont parallèles.

14 Lire une solution sur un graphique ★★★

1. Les droites se coupent au point de coordonnées \((2\,;\,3)\).
2. Le système est \(\begin{cases} y = 2x - 1 \\ x + y = 5 \end{cases}\). Pour \((2\,;\,3)\) : \(2 \times 2 - 1 = 3\) et \(2 + 3 = 5\). Les deux égalités sont vraies : \((2\,;\,3)\) est la solution.

15 Le traiteur ★★★

Soit \(p\) le prix d’une pizza et \(s\) celui d’une salade, en euros : \(\begin{cases} 4p + 3s = 47 \\ 2p + 5s = 41 \end{cases}\).

On multiplie la seconde équation par \(2\) : \(4p + 10s = 82\). On soustrait la première : \(7s = 35\), donc \(s = 5\).

Puis \(4p + 15 = 47\), donc \(p = 8\). Vérification : \(2 \times 8 + 5 \times 5 = 41\).

Une pizza coûte \(8\) € et une salade \(5\) €.

16 L’âge de la mère et de la fille ★★★

Soit \(m\) l’âge de la mère et \(f\) celui de la fille aujourd’hui : \(\begin{cases} m = f + 38 \\ m + 5 = 3(f + 5) \end{cases}\).

On remplace : \(f + 38 + 5 = 3f + 15\), donc \(f + 43 = 3f + 15\) et \(28 = 2f\), soit \(f = 14\). Puis \(m = 52\).

Vérification : dans \(5\) ans, \(57 = 3 \times 19\). La fille a \(14\) ans et sa mère \(52\) ans.

17 Le mélange d’engrais ★★★

Soit \(a\) la masse d’engrais A et \(b\) celle d’engrais B, en kg : \(\begin{cases} a + b = 25 \\ 2a + 5b = 95 \end{cases}\).

On multiplie la première équation par \(2\) : \(2a + 2b = 50\). On soustrait : \(3b = 45\), donc \(b = 15\). Puis \(a = 10\).

Vérification : \(2 \times 10 + 5 \times 15 = 95\). Il a utilisé \(10\) kg d’engrais A et \(15\) kg d’engrais B.

18 Des coefficients décimaux ★★★

De la seconde équation, \(y = x - 2\). On remplace : \(0{,}5x + 0{,}2(x - 2) = 3{,}1\), donc \(0{,}5x + 0{,}2x - 0{,}4 = 3{,}1\) et \(0{,}7x = 3{,}5\), soit \(x = 5\).

Puis \(y = 5 - 2 = 3\). Vérification : \(0{,}5 \times 5 + 0{,}2 \times 3 = 2{,}5 + 0{,}6 = 3{,}1\). La solution est \((5\,;\,3)\).

19 Retrouver des coefficients ★★★

On remplace \(x = 2\) et \(y = -1\) dans chaque équation.

Première équation : \(2k - 3 = 1\), donc \(2k = 4\) et \(k = 2\).

Seconde équation : \(2 - m = 4\), donc \(m = -2\).

On trouve \(k = 2\) et \(m = -2\).

20 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux. La seconde équation est le double de la première : les deux droites sont confondues, il y a une infinité de solutions (par exemple \((0\,;\,7)\) et \((3\,;\,4)\)).
2. Vrai. \(3 \times (-1) + 4 = 1\) et \(-1 - 4 = -5\).
3. Vrai. Une seule solution signifie un seul point commun : les droites se coupent en un point.