Intégration et primitives : exercices corrigés de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Primitives à connaître ★★★

a) \(\dfrac{x^5}{5}\). b) \(\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}\), primitive \(\dfrac{x^{-1}}{-1} = -\dfrac1x\). c) \(\dfrac{e^{2x}}{2}\). d) \(\dfrac{\sin(3x)}{3}\). e) \(x^{-1/2}\) a pour primitive \(\dfrac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}\).

Chaque résultat se vérifie en dérivant.

2 Intégrale d’un polynôme ★★★

Une primitive de \(3x^2 - 2x + 1\) est \(x^3 - x^2 + x\). Donc \(\displaystyle\int_0^2 = \Big[x^3 - x^2 + x\Big]_0^2 = (8 - 4 + 2) - 0 = 6\).

3 Trois intégrales usuelles ★★★

\(A = \Big[-\cos t\Big]_0^{\pi} = -\cos \pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2\).

\(B = \Big[\ln t\Big]_1^{e} = 1 - 0 = 1\).

\(C = \Big[\dfrac{e^{3t}}{3}\Big]_0^1 = \dfrac{e^{3} - 1}{3}\).

4 Aire sous une parabole ★★★

On a \(f(x) = x(4-x) \geq 0\) sur \([0\,;4]\), donc l’aire est l’intégrale de \(f\).

\(\displaystyle\int_0^4 (4x - x^2)\,dx = \Big[2x^2 - \dfrac{x^3}{3}\Big]_0^4 = 32 - \dfrac{64}{3} = \dfrac{32}{3}\).

L’aire vaut \(\dfrac{32}{3} \approx 10{,}67\) unités d’aire.

5 Vrai ou faux ? ★★★

a) Vrai : \(x \mapsto x^3\) est impaire, ou directement \(\Big[\dfrac{x^4}{4}\Big]_{-2}^{2} = 4 - 4 = 0\).

b) Vrai : sur \([0\,;1]\), \(x^2 \leq x\), donc par croissance de l’intégrale \(\dfrac13 \leq \dfrac12\).

c) Faux : avec \(f(x) = x - 1\), \(\displaystyle\int_0^2 (x-1)\,dx = \Big[\dfrac{x^2}{2} - x\Big]_0^2 = 0\) alors que \(f(0) = -1\).

6 Chasles et linéarité ★★★

Par Chasles, \(\displaystyle\int_0^5 f = 5 + (-3) = 2\). Puis \(\displaystyle\int_5^0 f = -2\).

Par linéarité, \(\displaystyle\int_0^5 (2f - 3g) = 2\times 2 - 3\times 4 = -8\).

7 Valeur moyenne ★★★

\(\mu = \dfrac{1}{4-1}\displaystyle\int_1^4 (2x+1)\,dx = \dfrac13\Big[x^2 + x\Big]_1^4 = \dfrac{20 - 2}{3} = 6\).

On retrouve \(f(2{,}5) = 6\) : pour une fonction affine, la valeur moyenne est atteinte au milieu de l’intervalle.

8 Une intégration par parties ★★★

On pose \(u = x\), \(v^{\prime} = e^{2x}\) ; alors \(u^{\prime} = 1\) et \(v = \dfrac{e^{2x}}{2}\).

\(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{2x}dx = \Big[\dfrac{x\,e^{2x}}{2}\Big]_0^1 - \int_0^1 \dfrac{e^{2x}}{2}dx = \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{e^2 - 1}{4} = \dfrac{e^2 + 1}{4}\).

9 Un logarithme à intégrer ★★★

On pose \(u = \ln x\) et \(v^{\prime} = x^2\) ; donc \(u^{\prime} = \dfrac1x\) et \(v = \dfrac{x^3}{3}\).

\(\displaystyle\int_1^e x^2\ln x\,dx = \Big[\dfrac{x^3\ln x}{3}\Big]_1^e - \int_1^e \dfrac{x^2}{3}dx = \dfrac{e^3}{3} - \dfrac{e^3 - 1}{9} = \dfrac{2e^3 + 1}{9}\).

10 Un changement de variable ★★★

Avec \(u = 1 + x^2\), \(du = 2x\,dx\) ; les bornes deviennent \(u = 1\) pour \(x = 0\) et \(u = 2\) pour \(x = 1\).

\(\displaystyle\int_0^1 x(1+x^2)^3dx = \dfrac12\int_1^2 u^3\,du = \dfrac12\Big[\dfrac{u^4}{4}\Big]_1^2 = \dfrac12\cdot\dfrac{16 - 1}{4} = \dfrac{15}{8}\).

11 Équation homogène ★★★

Ici \(a(x) = -2\), de primitive \(A(x) = -2x\). Les solutions sont \(y = C\,e^{2x}\).

La condition \(y(1) = C\,e^{2} = 3\) donne \(C = 3e^{-2}\), donc \(y(x) = 3\,e^{2x - 2} = 3\,e^{2(x-1)}\).

12 Ordre 2 : deux racines réelles ★★★

L’équation caractéristique \(r^2 - 5r + 6 = 0\) a pour racines \(2\) et \(3\) (\(\Delta = 1\)). Donc \(y = A\,e^{2x} + B\,e^{3x}\).

\(y(0) = A + B = 1\) et \(y^{\prime}(0) = 2A + 3B = 0\). On en tire \(B = -2\) et \(A = 3\).

La solution est \(y(x) = 3e^{2x} - 2e^{3x}\).

13 Primitives de fonctions composées ★★★

a) De la forme \(\dfrac12\dfrac{u^{\prime}}{u}\) avec \(u = x^2 + 1\) : \(\dfrac12\ln(x^2+1)\).

b) \(u^{\prime}e^{u}\) avec \(u = x^3\) : \(e^{x^3}\).

c) \(u^{\prime}u^3\) avec \(u = \sin x\) : \(\dfrac{\sin^4 x}{4}\).

d) \(\dfrac12\dfrac{u^{\prime}}{u}\) avec \(u = 2x+3 > 0\) : \(\dfrac12\ln(2x+3)\).

14 Une somme de Riemann exacte ★★★

\(S_n = \dfrac{1}{n^3}\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\).

Pour \(n = 10\) : \(S_{10} = \dfrac{11 \times 21}{600} = \dfrac{231}{600} = 0{,}385\).

Enfin \(S_n = \dfrac16\left(1 + \dfrac1n\right)\left(2 + \dfrac1n\right) \to \dfrac{2}{6} = \dfrac13 = \displaystyle\int_0^1 x^2dx\), conformément au théorème sur les sommes de Riemann.

15 Un oscillateur sans frottement ★★★

L’équation caractéristique \(r^2 + 9 = 0\) donne \(r = \pm 3i\), donc \(y = A\cos 3x + B\sin 3x\).

\(y(0) = A = 2\) et \(y^{\prime}(0) = 3B = 6\), donc \(B = 2\) : \(y(x) = 2\cos 3x + 2\sin 3x\).

Comme \(2\cos 3x + 2\sin 3x = 2\sqrt2\cos\!\left(3x - \dfrac{\pi}{4}\right)\), l’amplitude vaut \(2\sqrt2 \approx 2{,}83\).

16 Intégrer deux fois par parties ★★★

Première intégration par parties (\(u = \sin x\), \(v^{\prime} = e^{x}\)) : \(I = \Big[e^{x}\sin x\Big]_0^{\pi} - J = -J\), avec \(J = \displaystyle\int_0^{\pi} e^{x}\cos x\,dx\).

Seconde (\(u = \cos x\), \(v^{\prime} = e^{x}\)) : \(J = \Big[e^{x}\cos x\Big]_0^{\pi} + \displaystyle\int_0^{\pi} e^{x}\sin x\,dx = (-e^{\pi} - 1) + I\).

Donc \(I = -J = e^{\pi} + 1 - I\), d’où \(I = \dfrac{e^{\pi} + 1}{2} \approx 12{,}07\).

17 Une intégrale avec exponentielle ★★★

\(\dfrac{1}{e^{x}+1} = \dfrac{e^{-x}}{1 + e^{-x}}\). Avec \(u = 1 + e^{-x}\), \(u^{\prime} = -e^{-x}\), donc ce quotient vaut \(-\dfrac{u^{\prime}}{u}\) et une primitive est \(-\ln(1 + e^{-x})\).

\(\displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{e^{x}+1} = -\ln(1 + e^{-1}) + \ln 2 = \ln\dfrac{2}{1 + e^{-1}} = \ln\dfrac{2e}{e+1} \approx 0{,}38\).

18 Limite par sommes de Riemann ★★★

a) \(u_2 = \dfrac13 + \dfrac14 = \dfrac{7}{12}\).

b) \(\dfrac{1}{n+k} = \dfrac1n\cdot\dfrac{1}{1 + k/n}\), donc \(u_n = \dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^n f\!\left(\dfrac kn\right)\) avec \(f(x) = \dfrac{1}{1+x}\) continue sur \([0\,;1]\).

Ainsi \(u_n \to \displaystyle\int_0^1\dfrac{dx}{1+x} = \ln 2\).

19 Approcher e par Taylor ★★★

a) \(R_n(1) = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{(1-t)^n}{n!}e^{t}\,dt\). Comme \(1 \leq e^{t} \leq e \leq 3\) sur \([0\,;1]\) et \(\displaystyle\int_0^1\dfrac{(1-t)^n}{n!}dt = \dfrac{1}{(n+1)!}\), on a \(0 \leq R_n(1) \leq \dfrac{3}{(n+1)!}\).

b) Pour \(n = 5\), \(\dfrac{3}{720} \approx 4{,}2\times10^{-3}\) : trop grand. Pour \(n = 6\), \(\dfrac{3}{5040} \approx 5{,}95\times10^{-4} < 10^{-3}\). Le plus petit \(n\) est \(6\).

Alors \(\displaystyle\sum_{k=0}^{6}\dfrac1{k!} = \dfrac{1957}{720} \approx 2{,}71806\), et \(2{,}7180 \leq e \leq 2{,}7187\).

20 Équation d’ordre 1 avec second membre ★★★

Équation homogène : \(y = C\,e^{-x}\). On pose \(y = C(x)\,e^{-x}\) ; alors \(y^{\prime} + y = C^{\prime}(x)\,e^{-x}\).

On veut \(C^{\prime}(x)\,e^{-x} = x\,e^{-x}\), donc \(C^{\prime}(x) = x\) et \(C(x) = \dfrac{x^2}{2} + k\).

Les solutions sont \(y(x) = \left(\dfrac{x^2}{2} + k\right)e^{-x}\). La condition \(y(0) = k = 3\) donne \(y(x) = \left(\dfrac{x^2}{2} + 3\right)e^{-x}\).

21 Ordre 2 avec second membre ★★★

Homogène : \(r^2 - 3r + 2 = 0\) a pour racines \(1\) et \(2\), donc \(y_H = A\,e^{x} + B\,e^{2x}\).

Particulière : \(3\) n’est pas racine, on cherche \(y_p = c\,e^{3x}\) : \(9c - 9c + 2c = 4\), donc \(c = 2\).

Solution générale : \(y = A\,e^{x} + B\,e^{2x} + 2e^{3x}\). Alors \(y(0) = A + B + 2 = 0\) et \(y^{\prime}(0) = A + 2B + 6 = 0\). On soustrait : \(B + 4 = 0\), donc \(B = -4\) et \(A = 2\).

\(y(x) = 2e^{x} - 4e^{2x} + 2e^{3x}\).

22 Une suite d’intégrales ★★★

a) \(I_0 = \displaystyle\int_0^1 e^{x}dx = e - 1\).

b) Intégration par parties avec \(u = x^n\), \(v^{\prime} = e^{x}\) : \(I_n = \Big[x^n e^{x}\Big]_0^1 - n\displaystyle\int_0^1 x^{n-1}e^{x}dx = e - n\,I_{n-1}\).

c) \(I_1 = e - (e-1) = 1\) ; \(I_2 = e - 2\) ; \(I_3 = e - 3(e-2) = 6 - 2e \approx 0{,}56\).